Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/7.1.18.md
+21 −3
| @@ -1,11 +1,29 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $7.1.18.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $7.1.18.$ В однородном электрическом поле напряженности $E$ гантель совершает колебания так, что в момент, когда она расположена поперек поля, скорости шариков гантели равны нулю. Определите скорость шариков в момент, когда гантель расположена вдоль поля. Масса шариков $m$, заряд $\pm q$, расстояние между центрами $l$. | ||
| ### Решение | |||
| − | ryr | ||
| + | Гантель может свободно вращаться в плоскости вокруг центра масс, который остаётся неподвижным. Мы рассматриваем консервативную систему, в которой силами, совершающими работу, являются электрические силы, и соответственно мы можем применять закон сохранения энергии. | ||
| + | Пусть угол между гантелью и направлением поля равен $\theta$, отсчитываемый от положения, когда гантель перпендикулярна полю (то есть начальное положение соответствует $\theta=\frac{\pi}{2}$, а конечное — $\theta=0$). | ||
| + | |||
| + | Потенциальная энергия заряженных частиц в электрическом поле: | ||
| + | |||
| + | $$U=-q\vec E\cdot \vec r_{+}+q\vec E\cdot \vec r_{-}$$ | ||
| + | |||
| + | где $\vec r_{+}$ и $\vec r_{-}$ — радиус-векторы положительно и отрицательно заряженных шариков. Если центр гантели в начале находится в точке $O$, то шарики находятся на расстоянии $\frac{l}{2}$ от центра, а проекция этих точек на поле — это $\frac{l}{2}\cos\theta$ и $-\frac{l}{2}\cos\theta$. Тогда потенциальная энергия: | ||
| + | |||
| + | $$U=-qE\cdot \frac{l}{2}\cos\theta+qE\cdot \left( -\frac{l}{2}\cos\theta \right)=-qEl\cos\theta$$ | ||
| + | |||
| + | Кинетическая энергия создаётся за счёт вращения. Обе массы находятся на расстоянии $\frac{l}{2}$ от центра, и если угловая скорость гантели — $\omega$, то линейная скорость каждого шарика: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon=\omega \cdot \frac{l}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Кинетическая энергия всей гантели: | ||
| + | |||
| + | $$K=2\cdot \frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\left( \omega \cdot \frac{l}{2} \right)^{2}=\frac{1}{4}m\omega^{2}l^{2}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$\upsilon=\sqrt{\frac{qEl}{m}}$$ | ||
| @@ -1,11 +1,29 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.1.18.$ [Вставьте условие задачи] | $7.1.18.$ В однородном электрическом поле напряженности $E$ гантель совершает колебания так, что в момент, когда она расположена поперек поля, скорости шариков гантели равны нулю. Определите скорость шариков в момент, когда гантель расположена вдоль поля. Масса шариков $m$, заряд $\pm q$, расстояние между центрами $l$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| ryr | Гантель может свободно вращаться в плоскости вокруг центра масс, который остаётся неподвижным. Мы рассматриваем консервативную систему, в которой силами, совершающими работу, являются электрические силы, и соответственно мы можем применять закон сохранения энергии. | ||
| Пусть угол между гантелью и направлением поля равен $\theta$, отсчитываемый от положения, когда гантель перпендикулярна полю (то есть начальное положение соответствует $\theta=\frac{\pi}{2}$, а конечное — $\theta=0$). | |||
| Потенциальная энергия заряженных частиц в электрическом поле: | |||
| $$U=-q\vec E\cdot \vec r_{+}+q\vec E\cdot \vec r_{-}$$ | |||
| где $\vec r_{+}$ и $\vec r_{-}$ — радиус-векторы положительно и отрицательно заряженных шариков. Если центр гантели в начале находится в точке $O$, то шарики находятся на расстоянии $\frac{l}{2}$ от центра, а проекция этих точек на поле — это $\frac{l}{2}\cos\theta$ и $-\frac{l}{2}\cos\theta$. Тогда потенциальная энергия: | |||
| $$U=-qE\cdot \frac{l}{2}\cos\theta+qE\cdot \left( -\frac{l}{2}\cos\theta \right)=-qEl\cos\theta$$ | |||
| Кинетическая энергия создаётся за счёт вращения. Обе массы находятся на расстоянии $\frac{l}{2}$ от центра, и если угловая скорость гантели — $\omega$, то линейная скорость каждого шарика: | |||
| $$\upsilon=\omega \cdot \frac{l}{2}$$ | |||
| Кинетическая энергия всей гантели: | |||
| $$K=2\cdot \frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\left( \omega \cdot \frac{l}{2} \right)^{2}=\frac{1}{4}m\omega^{2}l^{2}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$\upsilon=\sqrt{\frac{qEl}{m}}$$ | ||