| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.1.18.$ В однородном электрическом поле напряженности $E$ гантель совершает колебания так, что в момент, когда она расположена поперек поля, скорости шариков гантели равны нулю. Определите скорость шариков в момент, когда гантель расположена вдоль поля. Масса шариков $m$, заряд $\pm q$, расстояние между центрами $l$. | | $7.1.18.$ В однородном электрическом поле напряженности $E$ гантель совершает колебания так, что в момент, когда она расположена поперек поля, скорости шариков гантели равны нулю. Определите скорость шариков в момент, когда гантель расположена вдоль поля. Масса шариков $m$, заряд $\pm q$, расстояние между центрами $l$. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Гантель может свободно вращаться в плоскости вокруг центра масс, который остаётся неподвижным. Мы рассматриваем консервативную систему, в которой силами, совершающими работу, являются электрические силы, и соответственно мы можем применять закон сохранения энергии. | | Гантель может свободно вращаться в плоскости вокруг центра масс, который остаётся неподвижным. Мы рассматриваем консервативную систему, в которой силами, совершающими работу, являются электрические силы, и соответственно мы можем применять закон сохранения энергии. |
| | | |
| Пусть угол между гантелью и направлением поля равен $\theta$, отсчитываемый от положения, когда гантель перпендикулярна полю (то есть начальное положение соответствует $\theta=\frac{\pi}{2}$, а конечное — $\theta=0$). | | Пусть угол между гантелью и направлением поля равен $\theta$, отсчитываемый от положения, когда гантель перпендикулярна полю (то есть начальное положение соответствует $\theta=\frac{\pi}{2}$, а конечное — $\theta=0$). |
| | | |
| Потенциальная энергия заряженных частиц в электрическом поле: | | Потенциальная энергия заряженных частиц в электрическом поле: |
| | | |
| $$U=-q\vec E\cdot \vec r_{+}+q\vec E\cdot \vec r_{-}$$ | | $$U=-q\vec E\cdot \vec r_{+}+q\vec E\cdot \vec r_{-}$$ |
| | | |
| где $\vec r_{+}$ и $\vec r_{-}$ — радиус-векторы положительно и отрицательно заряженных шариков. Если центр гантели в начале находится в точке $O$, то шарики находятся на расстоянии $\frac{l}{2}$ от центра, а проекция этих точек на поле — это $\frac{l}{2}\cos\theta$ и $-\frac{l}{2}\cos\theta$. Тогда потенциальная энергия: | | где $\vec r_{+}$ и $\vec r_{-}$ — радиус-векторы положительно и отрицательно заряженных шариков. Если центр гантели в начале находится в точке $O$, то шарики находятся на расстоянии $\frac{l}{2}$ от центра, а проекция этих точек на поле — это $\frac{l}{2}\cos\theta$ и $-\frac{l}{2}\cos\theta$. Тогда потенциальная энергия: |
| | | |
| $$U=-qE\cdot \frac{l}{2}\cos\theta+qE\cdot \left( -\frac{l}{2}\cos\theta \right)=-qEl\cos\theta$$ | | $$U=-qE\cdot \frac{l}{2}\cos\theta+qE\cdot \left( -\frac{l}{2}\cos\theta \right)=-qEl\cos\theta$$ |
| | | |
| Кинетическая энергия создаётся за счёт вращения. Обе массы находятся на расстоянии $\frac{l}{2}$ от центра, и если угловая скорость гантели — $\omega$, то линейная скорость каждого шарика: | | Кинетическая энергия создаётся за счёт вращения. Обе массы находятся на расстоянии $\frac{l}{2}$ от центра, и если угловая скорость гантели — $\omega$, то линейная скорость каждого шарика: |
| | | |
| $$\upsilon=\omega \cdot \frac{l}{2}$$ | | $$\upsilon=\omega \cdot \frac{l}{2}$$ |
| | | |
| Кинетическая энергия всей гантели: | | Кинетическая энергия всей гантели: |
| | | |
| $$K=2\cdot \frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\left( \omega \cdot \frac{l}{2} \right)^{2}=\frac{1}{4}m\omega^{2}l^{2}$$ | | $$K=2\cdot \frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\left( \omega \cdot \frac{l}{2} \right)^{2}=\frac{1}{4}m\omega^{2}l^{2}$$ |
| $$K_{1}+U_{1}=K_{2}+U_{2}$$ | | $$K_{1}+U_{1}=K_{2}+U_{2}$$ |
| $$0=\frac{1}{4}m\omega^{2}l^{2}-qEl$$ | | $$0=\frac{1}{4}m\omega^{2}l^{2}-qEl$$ |
| | | |
| Отсюда: | | Отсюда: |
| | | |
| $$\omega=\sqrt{\frac{4qE}{ml}}$$ | | $$\omega=\sqrt{\frac{4qE}{ml}}$$ |
| | | |
| Теперь найдём линейную скорость каждого шарика: | | Теперь найдём линейную скорость каждого шарика: |
| | | |
| $$\upsilon=\omega \cdot \frac{l}{2}=\sqrt{\frac{4qE}{ml}}\cdot \frac{l}{2}=\sqrt{\frac{qEl}{m}}$$ | | $$\upsilon=\omega \cdot \frac{l}{2}=\sqrt{\frac{4qE}{ml}}\cdot \frac{l}{2}=\sqrt{\frac{qEl}{m}}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$\upsilon=\sqrt{\frac{qEl}{m}}$$ | | $$\upsilon=\sqrt{\frac{qEl}{m}}$$ |
