Решение

Пусть тело сместилось на $x$ вправо. Запишем второй закон Ньютона:

$$m\ddot{x}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}(l+x)^{2}}-\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}(l-x)^{2}}$$

При $x\ll l$ используем разложение в ряд Тейлора:

$$\frac{1}{(l\pm x)^{2}}\approx \frac{1}{l^{2}}\mp \frac{2x}{l^{3}}$$

Подставляем:

$$m\ddot{x}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \left( \frac{1}{l^{2}}-\frac{2x}{l^{3}} \right)- \left(\frac{1}{l^{2}}+\frac{2x}{l^{3}} \right)\right)=-\frac{4Qqx}{4\pi\varepsilon_{0}l^{3}}=-\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}l^{3}}x$$
$$m\ddot{x}+\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}l^{3}}x=0$$
$$\ddot{x}+\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}ml^{3}}x=0$$

Это уравнение гармонических колебаний с частотой:

$$\omega=\sqrt{\frac{Qq}{\pi\varepsilon_{0}ml^{3}}}$$

В ответе задачника ошибка/опечатка (размерность не соответсвует частоте).