Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/7.3.14.md
+36 −3
| @@ -1,11 +1,44 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $7.3.14.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $7.3.14.$ . Упруго связанный в молекуле электрон имеет резонансную частоту колебаний $\omega_{0}$. Коэффициент затухания колебаний $\gamma$. Найдите установившуюся амплитуду вынужденных колебаний электрона в электрическом поле напряженности $E=E_{0}\sin\omega t$. | ||
| ### Решение | |||
| − | jhg | ||
| + | Уравнение движения электрона массой $m_{e}$, зарядом $-e$ в переменном электрическом поле $E=E_{0}\sin\omega t$, с учетом упругой связи (собственной частоты $\omega_{0}$) и затухания, имеет вид: | ||
| + | $$m_{e}\ddot{x}+2m_{e}\gamma\dot{x}+m_{e}\omega_{0}^{2}x=-eE_{0}\sin(\omega t)$$ | ||
| + | $$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=-\frac{e}{m_{e}}E_{0}\sin(\omega t)$$ | ||
| + | |||
| + | Это линейное дифференциальное уравнение с вынуждающей синусоидальной силой. Для упрощения вычислений перейдём в область комплексных переменных. | ||
| + | |||
| + | Пусть $E(t)=\mathrm{Re}\left[ E_{0}e^{i\omega t} \right]$, тогда решаем уравнение: | ||
| + | |||
| + | $$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=-\frac{e}{m_{e}}E_{0}e^{i\omega t}$$ | ||
| + | |||
| + | Будем искать решение в виде: $x(t)=\tilde{x}e^{i\omega t}$, где $\tilde{x}$ - комплексная амплитуда. Подставим: | ||
| + | |||
| + | $$(-\omega^{2}\tilde{x}+2i\omega\gamma\tilde{x}+\omega_{0}^{2}\tilde{x})e^{i\omega t}=-\frac{e}{m_{e}}E_{0}e^{i\omega t}$$ | ||
| + | |||
| + | Сократим на $e^{i\omega t}$ и выразим $\tilde{x}$: | ||
| + | |||
| + | $$\tilde{x}=\frac{eE_{0}}{m_{e}(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega)}$$ | ||
| + | |||
| + | Нас интересует амплитуда колебаний, то есть модуль: | ||
| + | |||
| + | $$A=\left| \tilde{x} \right|=\left| \frac{eE_{0}}{m_{e}(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega)} \right|=\frac{eE_{0}}{m_{e}}\cdot \frac{1}{\left| \omega^{2}-\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega \right|}$$ | ||
| + | |||
| + | Модуль комплексного числа $z=a+ib$ равен: | ||
| + | |||
| + | $$\left| z \right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Поэтому: | ||
| + | |||
| + | $$\left| \omega^{2}-\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega \right|=\sqrt{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+(-2\gamma\omega)^{2}}=\sqrt{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Окончательно: | ||
| + | |||
| + | $$A=\frac{eE_{0}}{m_{e}\sqrt{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}}}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$A=\frac{eE_{0}}{m_{e}\sqrt{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}}}$$ | ||
| @@ -1,11 +1,44 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.3.14.$ [Вставьте условие задачи] | $7.3.14.$ . Упруго связанный в молекуле электрон имеет резонансную частоту колебаний $\omega_{0}$. Коэффициент затухания колебаний $\gamma$. Найдите установившуюся амплитуду вынужденных колебаний электрона в электрическом поле напряженности $E=E_{0}\sin\omega t$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| jhg | Уравнение движения электрона массой $m_{e}$, зарядом $-e$ в переменном электрическом поле $E=E_{0}\sin\omega t$, с учетом упругой связи (собственной частоты $\omega_{0}$) и затухания, имеет вид: | ||
| $$m_{e}\ddot{x}+2m_{e}\gamma\dot{x}+m_{e}\omega_{0}^{2}x=-eE_{0}\sin(\omega t)$$ | |||
| $$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=-\frac{e}{m_{e}}E_{0}\sin(\omega t)$$ | |||
| Это линейное дифференциальное уравнение с вынуждающей синусоидальной силой. Для упрощения вычислений перейдём в область комплексных переменных. | |||
| Пусть $E(t)=\mathrm{Re}\left[ E_{0}e^{i\omega t} \right]$, тогда решаем уравнение: | |||
| $$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=-\frac{e}{m_{e}}E_{0}e^{i\omega t}$$ | |||
| Будем искать решение в виде: $x(t)=\tilde{x}e^{i\omega t}$, где $\tilde{x}$ - комплексная амплитуда. Подставим: | |||
| $$(-\omega^{2}\tilde{x}+2i\omega\gamma\tilde{x}+\omega_{0}^{2}\tilde{x})e^{i\omega t}=-\frac{e}{m_{e}}E_{0}e^{i\omega t}$$ | |||
| Сократим на $e^{i\omega t}$ и выразим $\tilde{x}$: | |||
| $$\tilde{x}=\frac{eE_{0}}{m_{e}(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega)}$$ | |||
| Нас интересует амплитуда колебаний, то есть модуль: | |||
| $$A=\left| \tilde{x} \right|=\left| \frac{eE_{0}}{m_{e}(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega)} \right|=\frac{eE_{0}}{m_{e}}\cdot \frac{1}{\left| \omega^{2}-\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega \right|}$$ | |||
| Модуль комплексного числа $z=a+ib$ равен: | |||
| $$\left| z \right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ | |||
| Поэтому: | |||
| $$\left| \omega^{2}-\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega \right|=\sqrt{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+(-2\gamma\omega)^{2}}=\sqrt{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}}$$ | |||
| Окончательно: | |||
| $$A=\frac{eE_{0}}{m_{e}\sqrt{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$A=\frac{eE_{0}}{m_{e}\sqrt{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}}}$$ | ||