Решение

Уравнение движения электрона массой $m_{e}$, зарядом $-e$ в переменном электрическом поле $E=E_{0}\sin\omega t$, с учетом упругой связи (собственной частоты $\omega_{0}$) и затухания, имеет вид:

$$m_{e}\ddot{x}+2m_{e}\gamma\dot{x}+m_{e}\omega_{0}^{2}x=-eE_{0}\sin(\omega t)$$
$$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=-\frac{e}{m_{e}}E_{0}\sin(\omega t)$$

Это линейное дифференциальное уравнение с вынуждающей синусоидальной силой. Для упрощения вычислений перейдём в область комплексных переменных.

Пусть $E(t)=\mathrm{Re}\left[ E_{0}e^{i\omega t} \right]$, тогда решаем уравнение:

$$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=-\frac{e}{m_{e}}E_{0}e^{i\omega t}$$

Будем искать решение в виде: $x(t)=\tilde{x}e^{i\omega t}$, где $\tilde{x}$ - комплексная амплитуда. Подставим:

$$(-\omega^{2}\tilde{x}+2i\omega\gamma\tilde{x}+\omega_{0}^{2}\tilde{x})e^{i\omega t}=-\frac{e}{m_{e}}E_{0}e^{i\omega t}$$

Сократим на $e^{i\omega t}$ и выразим $\tilde{x}$:

$$\tilde{x}=\frac{eE_{0}}{m_{e}(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega)}$$

Нас интересует амплитуда колебаний, то есть модуль:

$$A=\left| \tilde{x} \right|=\left| \frac{eE_{0}}{m_{e}(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega)} \right|=\frac{eE_{0}}{m_{e}}\cdot \frac{1}{\left| \omega^{2}-\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega \right|}$$

Модуль комплексного числа $z=a+ib$ равен:

$$\left| z \right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$

Поэтому:

$$\left| \omega^{2}-\omega_{0}^{2}-2i\gamma\omega \right|=\sqrt{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+(-2\gamma\omega)^{2}}=\sqrt{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}}$$

Окончательно:

$$A=\frac{eE_{0}}{m_{e}\sqrt{(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}}}$$