Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/7.4.30.md
+66 −3
| @@ -1,11 +1,74 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $7.4.30.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $7.4.30.$ Две одинаковые капли ртути радиуса $R$ летят навстречу друг другу, имея на большом расстоянии скорость $\upsilon$. Происходит столкновение, в результате которого капли сливаются в одну. Определите количество выделившейся при столкновении теплоты, если: а) капли имеют разноименные заряды $Q$ и $−Q$; б) одна капля имеет заряд $−q$, другая $Q$. Плотность ртути $\rho$, поверхностное натяжение $\sigma$. | ||
| ### Решение | |||
| − | jgh | ||
| + | Рассмотрим обе ситуации с учетом энергии системы до и после слияния капель ртути. Будем учитывать кинетическую энергию капель, энергию поверхностного натяжения, електрическую энергию самих капель и их взаимодействия. Потери энергии будут идти на теплоту: | ||
| + | $$W=E_{1}-E_{2}$$ | ||
| + | |||
| + | где $E_{1}$ - полная энергия до слияния капель, а $E_{2}$ - полная энергия после слияния капель. | ||
| + | |||
| + | Изначальная масса капель: | ||
| + | |||
| + | $$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$ | ||
| + | |||
| + | После слияния объем суммируется, значит новый радиус: | ||
| + | |||
| + | $$2\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3} \Longrightarrow R_{1}=\sqrt[3]{2}R$$ | ||
| + | |||
| + | $\textbf{а) }$ Рассмотрим случай, когда заряды капель равны $Q$ и $−Q$. | ||
| + | |||
| + | Кинетическая энергия до слияния капель: | ||
| + | |||
| + | $$Е_{1K}=2\cdot\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\upsilon^{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Поверхностная энергия двух капель до слияния: | ||
| + | |||
| + | $$Е_{1S}=2\cdot S\sigma=2\cdot 4\pi R^{2}\sigma=8\pi R^{2}\sigma$$ | ||
| + | |||
| + | Каждая заряженная капля имеет собственную електрическую энергию: | ||
| + | |||
| + | $$Е_{1E}^{'}=\int_{0}^{Q}\varphi dq^{'}=\int_{0}^{Q}\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R}dq^{'}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$ | ||
| + | |||
| + | поскольку ртуть проводник, заряд капли располагается на её поверхности, то считаем потенциал $\varphi$, как для проводящей сферы радиуса $R$. | ||
| + | |||
| + | Суммарная електрическая энергия двух капель до слияния: | ||
| + | |||
| + | $$Е_{1E}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$ | ||
| + | |||
| + | Потенциальной энергии взаимодействия зарядов $Q$ и $−Q$ на большом (бесконечном) расстоянии нет, она равна 0. | ||
| + | |||
| + | После слияния капель по закону сохранения импульса скорость образовавшейся капли равна 0, значит кинетическая энергия тоже равна 0: | ||
| + | |||
| + | $$Е_{2K}=0$$ | ||
| + | |||
| + | Поверхностная энергия после слияния: | ||
| + | |||
| + | $$Е_{2S}=4\pi R_{1}^{2}\sigma=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$ | ||
| + | |||
| + | По закону сохранения заряда: $Q-Q=0$, то есть после слияния система електрически нейтральна, значит електрическая энергия равна 0: | ||
| + | |||
| + | $$Е_{2E}=0$$ | ||
| + | |||
| + | Итак, полная энергия системы до слияния: | ||
| + | |||
| + | $$E_{1}=E_{1K}+E_{1S}+E_{1E}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$ | ||
| + | |||
| + | Полная энергия системы после слияния: | ||
| + | |||
| + | $$E_{2}=E_{2K}+E_{2S}+E_{2E}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$ | ||
| + | |||
| + | Разность энергий даст нам количество, выделившейся теплоты: | ||
| + | |||
| + | $$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$ | ||
| + | $$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$ | ||
| + | |||
| + | $\textbf{б) }$ Теперь рассмотрим случай, когда заряды капель $−q$ и $Q$. | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$\textbf{а) } W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$ | ||
| + | |||
| + | $$\textbf{б) } W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}+q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$ | ||
| @@ -1,11 +1,74 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.4.30.$ [Вставьте условие задачи] | $7.4.30.$ Две одинаковые капли ртути радиуса $R$ летят навстречу друг другу, имея на большом расстоянии скорость $\upsilon$. Происходит столкновение, в результате которого капли сливаются в одну. Определите количество выделившейся при столкновении теплоты, если: а) капли имеют разноименные заряды $Q$ и $−Q$; б) одна капля имеет заряд $−q$, другая $Q$. Плотность ртути $\rho$, поверхностное натяжение $\sigma$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| jgh | Рассмотрим обе ситуации с учетом энергии системы до и после слияния капель ртути. Будем учитывать кинетическую энергию капель, энергию поверхностного натяжения, електрическую энергию самих капель и их взаимодействия. Потери энергии будут идти на теплоту: | ||
| $$W=E_{1}-E_{2}$$ | |||
| где $E_{1}$ - полная энергия до слияния капель, а $E_{2}$ - полная энергия после слияния капель. | |||
| Изначальная масса капель: | |||
| $$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$ | |||
| После слияния объем суммируется, значит новый радиус: | |||
| $$2\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3} \Longrightarrow R_{1}=\sqrt[3]{2}R$$ | |||
| $\textbf{а) }$ Рассмотрим случай, когда заряды капель равны $Q$ и $−Q$. | |||
| Кинетическая энергия до слияния капель: | |||
| $$Е_{1K}=2\cdot\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\upsilon^{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}$$ | |||
| Поверхностная энергия двух капель до слияния: | |||
| $$Е_{1S}=2\cdot S\sigma=2\cdot 4\pi R^{2}\sigma=8\pi R^{2}\sigma$$ | |||
| Каждая заряженная капля имеет собственную електрическую энергию: | |||
| $$Е_{1E}^{'}=\int_{0}^{Q}\varphi dq^{'}=\int_{0}^{Q}\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R}dq^{'}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$ | |||
| поскольку ртуть проводник, заряд капли располагается на её поверхности, то считаем потенциал $\varphi$, как для проводящей сферы радиуса $R$. | |||
| Суммарная електрическая энергия двух капель до слияния: | |||
| $$Е_{1E}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$ | |||
| Потенциальной энергии взаимодействия зарядов $Q$ и $−Q$ на большом (бесконечном) расстоянии нет, она равна 0. | |||
| После слияния капель по закону сохранения импульса скорость образовавшейся капли равна 0, значит кинетическая энергия тоже равна 0: | |||
| $$Е_{2K}=0$$ | |||
| Поверхностная энергия после слияния: | |||
| $$Е_{2S}=4\pi R_{1}^{2}\sigma=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$ | |||
| По закону сохранения заряда: $Q-Q=0$, то есть после слияния система електрически нейтральна, значит електрическая энергия равна 0: | |||
| $$Е_{2E}=0$$ | |||
| Итак, полная энергия системы до слияния: | |||
| $$E_{1}=E_{1K}+E_{1S}+E_{1E}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$ | |||
| Полная энергия системы после слияния: | |||
| $$E_{2}=E_{2K}+E_{2S}+E_{2E}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$ | |||
| Разность энергий даст нам количество, выделившейся теплоты: | |||
| $$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$ | |||
| $$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$ | |||
| $\textbf{б) }$ Теперь рассмотрим случай, когда заряды капель $−q$ и $Q$. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$\textbf{а) } W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$ | ||
| $$\textbf{б) } W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}+q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$ | |||