Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #14515 предыдущая #14514 ← раньше позже →
ru/7.4.30.md +66 −3
@@ -1,11 +1,74 @@
### Условие
−$7.4.30.$ [Вставьте условие задачи]
+$7.4.30.$ Две одинаковые капли ртути радиуса $R$ летят навстречу друг другу, имея на большом расстоянии скорость $\upsilon$. Происходит столкновение, в результате которого капли сливаются в одну. Определите количество выделившейся при столкновении теплоты, если: а) капли имеют разноименные заряды $Q$ и $−Q$; б) одна капля имеет заряд $−q$, другая $Q$. Плотность ртути $\rho$, поверхностное натяжение $\sigma$.
### Решение
−jgh
+Рассмотрим обе ситуации с учетом энергии системы до и после слияния капель ртути. Будем учитывать кинетическую энергию капель, энергию поверхностного натяжения, електрическую энергию самих капель и их взаимодействия. Потери энергии будут идти на теплоту:
+$$W=E_{1}-E_{2}$$
+
+где $E_{1}$ - полная энергия до слияния капель, а $E_{2}$ - полная энергия после слияния капель.
+
+Изначальная масса капель:
+
+$$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$
+
+После слияния объем суммируется, значит новый радиус:
+
+$$2\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3} \Longrightarrow R_{1}=\sqrt[3]{2}R$$
+
+$\textbf{а) }$ Рассмотрим случай, когда заряды капель равны $Q$ и $−Q$.
+
+Кинетическая энергия до слияния капель:
+
+$$Е_{1K}=2\cdot\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\upsilon^{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}$$
+
+Поверхностная энергия двух капель до слияния:
+
+$$Е_{1S}=2\cdot S\sigma=2\cdot 4\pi R^{2}\sigma=8\pi R^{2}\sigma$$
+
+Каждая заряженная капля имеет собственную електрическую энергию:
+
+$$Е_{1E}^{'}=\int_{0}^{Q}\varphi dq^{'}=\int_{0}^{Q}\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R}dq^{'}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$
+
+поскольку ртуть проводник, заряд капли располагается на её поверхности, то считаем потенциал $\varphi$, как для проводящей сферы радиуса $R$.
+
+Суммарная електрическая энергия двух капель до слияния:
+
+$$Е_{1E}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$
+
+Потенциальной энергии взаимодействия зарядов $Q$ и $−Q$ на большом (бесконечном) расстоянии нет, она равна 0.
+
+После слияния капель по закону сохранения импульса скорость образовавшейся капли равна 0, значит кинетическая энергия тоже равна 0:
+
+$$Е_{2K}=0$$
+
+Поверхностная энергия после слияния:
+
+$$Е_{2S}=4\pi R_{1}^{2}\sigma=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$
+
+По закону сохранения заряда: $Q-Q=0$, то есть после слияния система електрически нейтральна, значит електрическая энергия равна 0:
+
+$$Е_{2E}=0$$
+
+Итак, полная энергия системы до слияния:
+
+$$E_{1}=E_{1K}+E_{1S}+E_{1E}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$
+
+Полная энергия системы после слияния:
+
+$$E_{2}=E_{2K}+E_{2S}+E_{2E}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$
+
+Разность энергий даст нам количество, выделившейся теплоты:
+
+$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$
+$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$
+
+$\textbf{б) }$ Теперь рассмотрим случай, когда заряды капель $−q$ и $Q$.
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\textbf{а) } W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$
+
+$$\textbf{б) } W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}+q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$