Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #14580 parent #14578 ← older
ru/4.6.2.md +45 −3
@@ -1,11 +1,53 @@
### Условие
−$4.6.2.$ [Вставьте условие задачи]
+$4.6.2.$ Капилляр радиуса $R$ опускают в смачивающую жидкость с поверхностным натяжением $\sigma$ и плотностью $\rho$. Определите высоту, на которую поднимется жидкость. Определите работу, совершенную силами поверхностного натяжения, и потенциальную энергию жидкости в капилляре. Почему эти величины не совпадают?
### Решение
−kjh
+В равновесии силы поверхностного натяжения компенсируют вес поднятого столба жидкости:
+$$F_{\sigma}=F_{mg}$$
+$$2\pi R\sigma=\rho\pi R^{2}hg$$
+
+где $h$ - высота столба жидкости.
+
+Отсюда:
+
+$$h=\frac{2\sigma}{\rho gR}$$
+
+Силы поверхностного натяжения создают новую боковую поверхность внутри капилляра. Площадь данной поверхности:
+
+$$\Delta S=2\pi Rh$$
+
+Работа сил поверхностного натяжения:
+
+$$A=\Delta S\cdot \sigma=2\pi Rh\sigma$$
+
+Подставим $h$:
+
+$$A=2\pi R\sigma\cdot \frac{2\sigma}{\rho gR}=\frac{4\pi\sigma^{2}}{\rho g}$$
+
+Масса жидкости в капилляре:
+
+$$m=\pi R^{2}h\rho$$
+
+Потенциальная энергия:
+
+$$U=\frac{1}{2}mgh=\frac{1}{2}\pi R^{2}h\rho gh=\frac{1}{2}\pi R^{2}\rho gh^{2}$$
+
+Подставим $h$:
+
+$$U=\frac{1}{2}\pi R^{2}\rho g\left( \frac{2\sigma}{\rho gR} \right)^{2}$$
+$$U=\frac{2\pi\sigma^{2}}{\rho g}$$
+
+Сравнивая работу и потенциальную энергию, видим, что $A=2U$. Часть энергии переходит в тепло.
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$h=\frac{2\sigma}{\rho gR}$$
+
+$$A=\frac{4\pi\sigma^{2}}{\rho g}$$
+
+$$U=\frac{2\pi\sigma^{2}}{\rho g}$$
+
+Часть энергии переходит в тепло.