Решение

В равновесии силы поверхностного натяжения компенсируют вес поднятого столба жидкости:

$$F_{\sigma}=F_{mg}$$
$$2\pi R\sigma=\rho\pi R^{2}hg$$

где $h$ - высота столба жидкости.

Отсюда:

$$h=\frac{2\sigma}{\rho gR}$$

Силы поверхностного натяжения создают новую боковую поверхность внутри капилляра. Площадь данной поверхности:

$$\Delta S=2\pi Rh$$

Работа сил поверхностного натяжения:

$$A=\Delta S\cdot \sigma=2\pi Rh\sigma$$

Подставим $h$:

$$A=2\pi R\sigma\cdot \frac{2\sigma}{\rho gR}=\frac{4\pi\sigma^{2}}{\rho g}$$

Масса жидкости в капилляре:

$$m=\pi R^{2}h\rho$$

Потенциальная энергия:

$$U=\frac{1}{2}mgh=\frac{1}{2}\pi R^{2}h\rho gh=\frac{1}{2}\pi R^{2}\rho gh^{2}$$

Подставим $h$:

$$U=\frac{1}{2}\pi R^{2}\rho g\left( \frac{2\sigma}{\rho gR} \right)^{2}$$
$$U=\frac{2\pi\sigma^{2}}{\rho g}$$

Сравнивая работу и потенциальную энергию, видим, что $A=2U$. Часть энергии переходит в тепло.