Решение

Пусть $u$ - постоянная скорость, с которой перемещается поршень, а $\upsilon$ - скорость истечения струи жидкости из насоса. Так как жидкость несжимаема, и в установившимся режиме можна применить закон сохранения массы (уравнение неразрывности):

$$uS=\upsilon s \Longrightarrow u=\upsilon\frac{s}{S}$$

Давление поршня на жидкость:

$$P=\frac{F}{S}$$

Запишем уравнение Бернулли для двух положений - возле поршня и на выходном отверствии:

$$P+\frac{1}{2}\rho u^{2}=\frac{1}{2}\rho \upsilon^{2}$$

Подставляем:

$$\frac{F}{S}+\frac{1}{2}\rho \left( \upsilon\frac{s}{S} \right)^{2}=\frac{1}{2}\rho \upsilon^{2}$$
$$\frac{2F}{S}=\rho \upsilon^{2}\left(1 - \frac{s^{2}}{S^{2}} \right)$$
$$2F=\rho \upsilon^{2} \frac{S^{2}-s^{2}}{S}$$

Окончательно:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2FS}{\rho(S^{2}-s^{2})}}$$