Edit to “Решение”

emixter edited
View solution History
revision #14635 parent #14634 ← older
ru/5.6.18.md +31 −0
@@ -26,8 +26,39 @@Решение
$$P_{2}V_{3}=RT_{3} \tag{3}$$
$$P_{1}V_{3}=RT_{2} \tag{4}$$
+Из (1): $P_{1}=\frac{RT_{1}}{V_{1}}$. Из (2): $P_{2}=\frac{RT_{2}}{V_{1}}$. Из (3) с учётом найденного выражения для $P_{2}$: $V_{3}=\frac{RT_{3}}{P_{2}}=\frac{V_{1}T_{3}}{T_{2}}$.
+Тогда:
+
+$$V_{3}-V_{1}=V_{1}\left( \frac{T_{3}}{T_{2}}-1 \right)$$
+
+Разность давлений:
+
+$$P_{2}-P_{1}=\frac{R}{V_{1}}\left( T_{2}-T_{1} \right)$$
+
+Подставим найденный разности в формулу для работы за цикл:
+
+$$A=\frac{R}{V_{1}}\left( T_{2}-T_{1} \right)V_{1}\left( \frac{T_{3}}{T_{2}}-1 \right)=R\left( T_{2}-T_{1} \right)\left( \frac{T_{3}}{T_{2}}-1 \right) \tag{5}$$
+
+Перемножим (2) и (4):
+
+$$P_{1}P_{2}V_{1}V_{3}=R^{2}T_{2}^{2}$$
+
+Подставим ранее найденные значения для $P_{1}$, $P_{2}$, $V_{3}$:
+
+$$\frac{RT_{1}}{V_{1}}\cdot \frac{RT_{2}}{V_{1}}\cdot V_{1}\cdot \frac{V_{1}T_{3}}{T_{2}}=R^{2}T_{2}^{2}$$
+$$R^{2}T_{1}T_{3}=R^{2}T_{2}^{2}$$
+$$T_{2}=\sqrt{T_{1}T_{3}}$$
+
+Подставим найденное значение для $T_{2}$ в (5):
+
+$$A=R\left( \sqrt{T_{1}T_{3}}-T_{1} \right)\left( \frac{T_{3}}{\sqrt{T_{1}T_{3}}}-1 \right)$$
+
+Упростим:
+
+$$A=R\sqrt{T_{1}}\left( \sqrt{T_{3}}-\sqrt{T_{1}} \right)\frac{\sqrt{T_{3}}-\sqrt{T_{1}}}{\sqrt{T_{1}}}$$
+$$A=R\left( \sqrt{T_{3}}-\sqrt{T_{1}} \right)^{2}$$
#### Ответ
$$A=R\left( \sqrt{T_{3}}-\sqrt{T_{1}} \right)^{2}$$