Решение

Выпишем равенства между функциями $P$, $V$, $T$, которые следуют из графика и условия задачи:

$$P_{1}=P_{4}$$
$$P_{2}=P_{3}$$
$$V_{1}=V_{2}$$
$$V_{3}=V_{4}$$
$$T_{2}=T_{4}$$

Работа газа совершается только на участках, где меняется объём, то есть на изобарных участках. На изохорных участках работа равна 0. Работа за цикл будет равна:

$$A=A_{2\to 3}+A_{4\to 1}$$
$$A=P_{2}(V_{3}-V_{1})+P_{1}(V_{1}-V_{3})=(P_{2}-P_{1})(V_{3}-V_{1})$$

Запишем уравнения состояний последовательно для точек 1, 2, 3 ,4:

$$P_{1}V_{1}=RT_{1} \tag{1}$$
$$P_{2}V_{1}=RT_{2} \tag{2}$$
$$P_{2}V_{3}=RT_{3} \tag{3}$$
$$P_{1}V_{3}=RT_{2} \tag{4}$$

Из (1): $P_{1}=\frac{RT_{1}}{V_{1}}$. Из (2): $P_{2}=\frac{RT_{2}}{V_{1}}$. Из (3) с учётом найденного выражения для $P_{2}$: $V_{3}=\frac{RT_{3}}{P_{2}}=\frac{V_{1}T_{3}}{T_{2}}$.

Тогда:

$$V_{3}-V_{1}=V_{1}\left( \frac{T_{3}}{T_{2}}-1 \right)$$

Разность давлений:

$$P_{2}-P_{1}=\frac{R}{V_{1}}\left( T_{2}-T_{1} \right)$$

Подставим найденный разности в формулу для работы за цикл:

$$A=\frac{R}{V_{1}}\left( T_{2}-T_{1} \right)V_{1}\left( \frac{T_{3}}{T_{2}}-1 \right)=R\left( T_{2}-T_{1} \right)\left( \frac{T_{3}}{T_{2}}-1 \right) \tag{5}$$

Перемножим (2) и (4):

$$P_{1}P_{2}V_{1}V_{3}=R^{2}T_{2}^{2}$$

Подставим ранее найденные значения для $P_{1}$, $P_{2}$, $V_{3}$:

$$\frac{RT_{1}}{V_{1}}\cdot \frac{RT_{2}}{V_{1}}\cdot V_{1}\cdot \frac{V_{1}T_{3}}{T_{2}}=R^{2}T_{2}^{2}$$
$$R^{2}T_{1}T_{3}=R^{2}T_{2}^{2}$$
$$T_{2}=\sqrt{T_{1}T_{3}}$$

Подставим найденное значение для $T_{2}$ в (5):

$$A=R\left( \sqrt{T_{1}T_{3}}-T_{1} \right)\left( \frac{T_{3}}{\sqrt{T_{1}T_{3}}}-1 \right)$$

Упростим:

$$A=R\sqrt{T_{1}}\left( \sqrt{T_{3}}-\sqrt{T_{1}} \right)\frac{\sqrt{T_{3}}-\sqrt{T_{1}}}{\sqrt{T_{1}}}$$
$$A=R\left( \sqrt{T_{3}}-\sqrt{T_{1}} \right)^{2}$$