Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

jzmicer edited Jun 8, 2025, 11:45 AM

View solution History

revision #14658 parent #14657 ← older

ru/11.2.13.md +6 −6

		@@ -1,23 +1,23 @@
			### Условие

			$11.2.13^*$ Плоская спираль с очень большим числом витков $n$ и наружным
		−	радиусом $R$ находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости спирали и изменяется по закону $B = B_0 cos ωt$. Найдите
		+	радиусом $R$ находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости спирали и изменяется по закону $B = B_0 cos \omega t$. Найдите
			ЭДС индукции в спирали. Расстояние между витками спирали одно и то же.

			### Решение

			![К задаче $11.2.13$ \|405x330, 60%](../../img/11.2.13/11.2.13.png)
			Магнитный поток через виток радиуса $r$ равен
		−	$$\Phi=BS=\pi r^2B_0 cos ωt$$
		+	$$\Phi=BS=\pi r^2B_0 cos \omega t$$
			Тогда в этом витке возникает ЭДС индукции
		−	$$\xi_{ind}=-\frac{d\Phi}{dt}=\pi r^2B_0 ~~ω sin ω~~t$$
		+	$$\xi_{ind}=-\frac{d\Phi}{dt}=\pi r^2B_0 \omega sin \omega t$$
			Все витки соединены последовательно, значит общая ЭДС равна
			$$\xi_{total}=\sum_{i=0}^{n}\xi_i$$
			Число витков очень велико, поэтому мы можем заменить сумму интегралом
		−	$$\xi_{total}=\int_{0}^{n}\xi_{ind}dn=\int_{0}^{N}\pi r^2B_0 ~~ω sin ωt~~dn$$
		+	$$\xi_{total}=\int_{0}^{n}\xi_{ind}dn=\int_{0}^{N}\pi r^2B_0\omega sin \omega t dn$$
			где $dn=n\frac{dr}{R}$.Тогда
		−	$$\xi_{total}=\frac{\pi B_0 ~~ω sin ω~~t}{R}\int_{0}^{R} r^2dr=\frac{πR^2}{3}nB_0~~ω sin ω~~t$$
		+	$$\xi_{total}=\frac{\pi B_0 \omega sin \omega t}{R}\int_{0}^{R} r^2dr=\frac{\pi R^2}{3}nB_0\omega sin \omega t$$

			#### Ответ

		−	$\xi = \frac{πR^2}{3}nB_0~~ω sin ω~~t$
		+	$\xi = \frac{\pi R^2}{3}nB_0\omega sin \omega t$

	@@ -1,23 +1,23 @@
	### Условие		### Условие

	$11.2.13^*$ Плоская спираль с очень большим числом витков $n$ и наружным		$11.2.13^*$ Плоская спираль с очень большим числом витков $n$ и наружным
	радиусом $R$ находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости спирали и изменяется по закону $B = B_0 cos ωt$. Найдите		радиусом $R$ находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости спирали и изменяется по закону $B = B_0 cos \omega t$. Найдите
	ЭДС индукции в спирали. Расстояние между витками спирали одно и то же.		ЭДС индукции в спирали. Расстояние между витками спирали одно и то же.

	### Решение		### Решение

	![К задаче $11.2.13$ \|405x330, 60%](../../img/11.2.13/11.2.13.png)		![К задаче $11.2.13$ \|405x330, 60%](../../img/11.2.13/11.2.13.png)
	Магнитный поток через виток радиуса $r$ равен		Магнитный поток через виток радиуса $r$ равен
	$$\Phi=BS=\pi r^2B_0 cos ωt$$		$$\Phi=BS=\pi r^2B_0 cos \omega t$$
	Тогда в этом витке возникает ЭДС индукции		Тогда в этом витке возникает ЭДС индукции
	$$\xi_{ind}=-\frac{d\Phi}{dt}=\pi r^2B_0 ~~ω sin ω~~t$$		$$\xi_{ind}=-\frac{d\Phi}{dt}=\pi r^2B_0 \omega sin \omega t$$
	Все витки соединены последовательно, значит общая ЭДС равна		Все витки соединены последовательно, значит общая ЭДС равна
	$$\xi_{total}=\sum_{i=0}^{n}\xi_i$$		$$\xi_{total}=\sum_{i=0}^{n}\xi_i$$
	Число витков очень велико, поэтому мы можем заменить сумму интегралом		Число витков очень велико, поэтому мы можем заменить сумму интегралом
	$$\xi_{total}=\int_{0}^{n}\xi_{ind}dn=\int_{0}^{N}\pi r^2B_0 ~~ω sin ωt~~dn$$		$$\xi_{total}=\int_{0}^{n}\xi_{ind}dn=\int_{0}^{N}\pi r^2B_0\omega sin \omega t dn$$
	где $dn=n\frac{dr}{R}$.Тогда		где $dn=n\frac{dr}{R}$.Тогда
	$$\xi_{total}=\frac{\pi B_0 ~~ω sin ω~~t}{R}\int_{0}^{R} r^2dr=\frac{πR^2}{3}nB_0~~ω sin ω~~t$$		$$\xi_{total}=\frac{\pi B_0 \omega sin \omega t}{R}\int_{0}^{R} r^2dr=\frac{\pi R^2}{3}nB_0\omega sin \omega t$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$\xi = \frac{πR^2}{3}nB_0~~ω sin ω~~t$		$\xi = \frac{\pi R^2}{3}nB_0\omega sin \omega t$