9.4.2 | revision #14697 | Savchenko Solutions

Условие

9.4.2.
Определите магнитный поток через выделенный на рисунке участок
сферы радиуса $$R$$ . Индукция магнитного поля $$B$$ направлена вдоль оси симметрии
этого участка.

Решение

По определению магнитный поток равен

\Phi=\int \vec Bd\vec S

Можно заметить, что поток через выделенную область равен потоку через кольцо, площадью

S=\pi(R_1^2-R_2^2)

где

R_1=Rsin\alpha

R_2=Rsin\beta

Учитывая что поле однородно, и перпендикулярно такому кольцу,

\Phi=B\pi((Rsin\alpha)^2-(Rsin\beta)^2)=B\pi R^2(sin^2\alpha - sin^2\beta)

P.S. Если Вы не ищете лёгких путей, то компоненту площади, параллельную вектору

\vec B

, можно найти с помощью интегрирования в сфрерической системе координат (помня,что вектор площади всегда направлен перпендикулярно поверхности):

S_\perp=R^2 \int_0^{2\pi} d\varphi\int_\beta^\alpha sin\theta cos\theta d\theta

Придя к аналогичному результату

Ответ

$\Phi=B\pi R^2(sin^2\alpha - sin^2\beta)$