9.3.18∗. Ток $I$ по длинному прямому проводу входит в проводник перпендикулярно его поверхности и равномерно растекается по нему. Как зависит индукция магнитного поля внутри проводника от угла $\beta$ и расстояния $r$?
Решение
Все точки проводника с одинаковыми $r$ и $\beta$, как нетрудно заметить, составляют окружность. Радиус такой окружности будет равен $R=rsin\beta$
Тогда воспользуемся теоремой о циркуляции $B$ по замкнутому контуру $$\int Bdl=\mu_0\sum I\tag{1}$$ для этой окружности. Её лина равна $l=2\pi rsin\beta$
Ток, согласно условию, течет одинаково во всех направлениях, причем видимо поверхность проводника вблизи точки присоединения провода можно считать плоской.
Тогда отношению тока, текщего через нашу окружность, к полному току равно $\frac{I'}{I}=\frac{\Omega}{2\pi}$, где $\Omega$ - телесный угол, под которым окружность видна из точки присоединения провода. Тогда теорема (1) примет вид $$B\cdot 2\pi rsin\beta=\mu_0I\frac{\Omega}{2\pi}\tag{2}$$ $$\Omega=2\pi(1-cos\beta)$$ $$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\frac{1-cos\beta}{sin\beta}\tag{3}$$ Используя тригонометрическую формулу $$tg\frac{\beta}{2}=\frac{1-cos\beta}{sin\beta}$$ окончательно получим: $$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}tg\frac{\beta}{2}\tag{4}$$
