Решение

Все точки проводника с одинаковыми $r$ и $\beta$, как нетрудно заметить, составляют окружность. Радиус такой окружности будет равен $R=r\sin\beta$

Тогда воспользуемся теоремой о циркуляции $B$ по замкнутому контуру

$$\int Bdl=\mu_0\sum I\tag{1}$$

для этой окружности. Её длина равна $l=2\pi r\sin\beta$

Ток, согласно условию, течет одинаково во всех направлениях, причем видимо поверхность проводника вблизи точки присоединения провода можно считать плоской.

Тогда отношению тока, текщего через нашу окружность, к полному току равно $\frac{I'}{I}=\frac{\Omega}{2\pi}$, где $\Omega$ - телесный угол, под которым окружность видна из точки присоединения провода.
Тогда теорема (1) примет вид

$$B\cdot 2\pi r\sin\beta=\mu_0I\frac{\Omega}{2\pi}\tag{2}$$

$\Omega$ - телесный угол при вершине прямого конуса с углом полураствора $\beta$, поэтому можно воспользоваться известной формулой*:

$$\Omega=2\pi(1-\cos\beta)$$

$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\frac{1-\cos\beta}{\sin\beta}\tag{3}$$

Используя тригонометрическую формулу

$$tg\frac{\beta}{2}=\frac{1-\cos\beta}{\sin\beta}$$

окончательно получим:

$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}tg\frac{\beta}{2}\tag{4}$$

*Вывод формулы:

Рассмотрим сферу радиусом $R$ с центром в вершине конуса. Конус вырезает на этой сфере часть поверхности, которая представляет собой сферический сегмент (шапочку).

Элемент площади $dS$ на сфере в сферических координатах выражается как

$$dS = R^2 \sin\theta \ d\theta \ d\varphi$$

где $\theta$ — полярный угол (отклонение от оси), а $\varphi$ — азимутальный угол (угол поворота вокруг оси).

Для прямого конуса с углом полураствора $\beta$, полярный угол $\theta$ изменяется от $0$ до $\beta$, а азимутальный угол $\varphi$ изменяется от $0$ до $2\pi$ (полный оборот).

Интегрируем элемент площади по этим пределам:

$$S = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\beta} R^2 \sin\theta \ d\theta \ d\varphi$$

$$S = 2\pi R^2 (1 - \cos\beta)$$

Подставляем полученное выражение в определение телесного угла:

$$\Omega = \frac{S}{R^2} = 2\pi (1 - \cos\beta)$$