Edits to “Решение”, “Ответ”

astrosander edited Jun 17, 2025, 6:08 AM

View solution History

revision #14747 parent #14744 ← older

ru/9.3.18.md +31 −10

			### Условие

			$9.3.18.$ Ток $I$ по длинному прямому проводу входит в проводник перпендикулярно его поверхности и равномерно растекается по нему. Как зависит индукция магнитного поля внутри проводника от угла $\beta$ и расстояния $r$?

		@@ -5,38 +5,59 @@Условие
			### Решение

			![\|381x293, 60%](../../img/9.3.18/9.3.18.png)
		−	Все точки проводника с одинаковыми $r$ и $\beta$, как нетрудно заметить, составляют окружность. Радиус такой окружности будет равен $R=rsin\beta$

		+	Все точки проводника с одинаковыми $r$ и $\beta$, как нетрудно заметить, составляют окружность. Радиус такой окружности будет равен $R=r\sin\beta$
		+
			Тогда воспользуемся теоремой о циркуляции $B$ по замкнутому контуру
		+
			$$\int Bdl=\mu_0\sum I\tag{1}$$
		−	для этой окружности. Её лина равна $l=2\pi rsin\beta$

		+	для этой окружности. Её длина равна $l=2\pi r\sin\beta$
		+
			Ток, согласно условию, течет одинаково во всех направлениях, причем видимо поверхность проводника вблизи точки присоединения провода можно считать плоской.

			Тогда отношению тока, текщего через нашу окружность, к полному току равно $\frac{I'}{I}=\frac{\Omega}{2\pi}$, где $\Omega$ - телесный угол, под которым окружность видна из точки присоединения провода.
			Тогда теорема (1) примет вид
		−	$$B\cdot 2\pi rsin\beta=\mu_0I\frac{\Omega}{2\pi}\tag{2}$$
		+
		+	$$B\cdot 2\pi r\sin\beta=\mu_0I\frac{\Omega}{2\pi}\tag{2}$$
		+
			$\Omega$ - телесный угол при вершине прямого конуса с углом полураствора $\beta$, поэтому можно воспользоваться известной формулой*:
		−	$$\Omega=2\pi(1-cos\beta)$$
		−	$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\frac{1-cos\beta}{sin\beta}\tag{3}$$
		+
		+	$$\Omega=2\pi(1-\cos\beta)$$
		+
		+	$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\frac{1-\cos\beta}{\sin\beta}\tag{3}$$
		+
			Используя тригонометрическую формулу
		−	$$tg\frac{\beta}{2}=\frac{1-cos\beta}{sin\beta}$$
		+
		+	$$tg\frac{\beta}{2}=\frac{1-\cos\beta}{\sin\beta}$$
		+
			окончательно получим:
		+
			$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}tg\frac{\beta}{2}\tag{4}$$


			*Вывод формулы:

		−	Рассмотрим сферу радиусом $R$ с центром в вершине конуса.
		−	Конус вырезает на этой сфере часть поверхности, которая представляет собой сферический сегмент (шапочку).
		+	Рассмотрим сферу радиусом $R$ с центром в вершине конуса. Конус вырезает на этой сфере часть поверхности, которая представляет собой сферический сегмент (шапочку).
		+
			Элемент площади $dS$ на сфере в сферических координатах выражается как
		−	~~$$dS = R^2 \sin\theta \ d\theta \ d\varphi$$~~ где $\theta$ — полярный угол (отклонение от оси), а $\varphi$ — азимутальный угол (угол поворота вокруг оси).
		+
		+	$$dS = R^2 \sin\theta \ d\theta \ d\varphi$$
		+
		+	где $\theta$ — полярный угол (отклонение от оси), а $\varphi$ — азимутальный угол (угол поворота вокруг оси).
		+
			Для прямого конуса с углом полураствора $\beta$, полярный угол $\theta$ изменяется от $0$ до $\beta$, а азимутальный угол $\varphi$ изменяется от $0$ до $2\pi$ (полный оборот).
		+
			Интегрируем элемент площади по этим пределам:
		+
			$$S = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\beta} R^2 \sin\theta \ d\theta \ d\varphi$$
		+
			$$S = 2\pi R^2 (1 - \cos\beta)$$
		+
			Подставляем полученное выражение в определение телесного угла:
		+
			$$\Omega = \frac{S}{R^2} = 2\pi (1 - \cos\beta)$$
		+
			#### Ответ

		−	$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}tg\frac{\beta}{2}$
		+	$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\tan\frac{\beta}{2}$

	### Условие		### Условие

	$9.3.18.$ Ток $I$ по длинному прямому проводу входит в проводник перпендикулярно его поверхности и равномерно растекается по нему. Как зависит индукция магнитного поля внутри проводника от угла $\beta$ и расстояния $r$?		$9.3.18.$ Ток $I$ по длинному прямому проводу входит в проводник перпендикулярно его поверхности и равномерно растекается по нему. Как зависит индукция магнитного поля внутри проводника от угла $\beta$ и расстояния $r$?

	@@ -5,38 +5,59 @@Условие
	### Решение		### Решение

	![\|381x293, 60%](../../img/9.3.18/9.3.18.png)		![\|381x293, 60%](../../img/9.3.18/9.3.18.png)
	Все точки проводника с одинаковыми $r$ и $\beta$, как нетрудно заметить, составляют окружность. Радиус такой окружности будет равен $R=rsin\beta$

			Все точки проводника с одинаковыми $r$ и $\beta$, как нетрудно заметить, составляют окружность. Радиус такой окружности будет равен $R=r\sin\beta$

	Тогда воспользуемся теоремой о циркуляции $B$ по замкнутому контуру		Тогда воспользуемся теоремой о циркуляции $B$ по замкнутому контуру

	$$\int Bdl=\mu_0\sum I\tag{1}$$		$$\int Bdl=\mu_0\sum I\tag{1}$$
	для этой окружности. Её лина равна $l=2\pi rsin\beta$

			для этой окружности. Её длина равна $l=2\pi r\sin\beta$

	Ток, согласно условию, течет одинаково во всех направлениях, причем видимо поверхность проводника вблизи точки присоединения провода можно считать плоской.		Ток, согласно условию, течет одинаково во всех направлениях, причем видимо поверхность проводника вблизи точки присоединения провода можно считать плоской.

	Тогда отношению тока, текщего через нашу окружность, к полному току равно $\frac{I'}{I}=\frac{\Omega}{2\pi}$, где $\Omega$ - телесный угол, под которым окружность видна из точки присоединения провода.		Тогда отношению тока, текщего через нашу окружность, к полному току равно $\frac{I'}{I}=\frac{\Omega}{2\pi}$, где $\Omega$ - телесный угол, под которым окружность видна из точки присоединения провода.
	Тогда теорема (1) примет вид		Тогда теорема (1) примет вид
	$$B\cdot 2\pi rsin\beta=\mu_0I\frac{\Omega}{2\pi}\tag{2}$$
			$$B\cdot 2\pi r\sin\beta=\mu_0I\frac{\Omega}{2\pi}\tag{2}$$

	$\Omega$ - телесный угол при вершине прямого конуса с углом полураствора $\beta$, поэтому можно воспользоваться известной формулой*:		$\Omega$ - телесный угол при вершине прямого конуса с углом полураствора $\beta$, поэтому можно воспользоваться известной формулой*:
	$$\Omega=2\pi(1-cos\beta)$$
	$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\frac{1-cos\beta}{sin\beta}\tag{3}$$		$$\Omega=2\pi(1-\cos\beta)$$

			$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\frac{1-\cos\beta}{\sin\beta}\tag{3}$$

	Используя тригонометрическую формулу		Используя тригонометрическую формулу
	$$tg\frac{\beta}{2}=\frac{1-cos\beta}{sin\beta}$$
			$$tg\frac{\beta}{2}=\frac{1-\cos\beta}{\sin\beta}$$

	окончательно получим:		окончательно получим:

	$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}tg\frac{\beta}{2}\tag{4}$$		$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}tg\frac{\beta}{2}\tag{4}$$


	*Вывод формулы:		*Вывод формулы:

	Рассмотрим сферу радиусом $R$ с центром в вершине конуса.		Рассмотрим сферу радиусом $R$ с центром в вершине конуса. Конус вырезает на этой сфере часть поверхности, которая представляет собой сферический сегмент (шапочку).
	Конус вырезает на этой сфере часть поверхности, которая представляет собой сферический сегмент (шапочку).
	Элемент площади $dS$ на сфере в сферических координатах выражается как		Элемент площади $dS$ на сфере в сферических координатах выражается как
	~~$$dS = R^2 \sin\theta \ d\theta \ d\varphi$$~~ где $\theta$ — полярный угол (отклонение от оси), а $\varphi$ — азимутальный угол (угол поворота вокруг оси).
			$$dS = R^2 \sin\theta \ d\theta \ d\varphi$$

			где $\theta$ — полярный угол (отклонение от оси), а $\varphi$ — азимутальный угол (угол поворота вокруг оси).

	Для прямого конуса с углом полураствора $\beta$, полярный угол $\theta$ изменяется от $0$ до $\beta$, а азимутальный угол $\varphi$ изменяется от $0$ до $2\pi$ (полный оборот).		Для прямого конуса с углом полураствора $\beta$, полярный угол $\theta$ изменяется от $0$ до $\beta$, а азимутальный угол $\varphi$ изменяется от $0$ до $2\pi$ (полный оборот).

	Интегрируем элемент площади по этим пределам:		Интегрируем элемент площади по этим пределам:

	$$S = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\beta} R^2 \sin\theta \ d\theta \ d\varphi$$		$$S = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\beta} R^2 \sin\theta \ d\theta \ d\varphi$$

	$$S = 2\pi R^2 (1 - \cos\beta)$$		$$S = 2\pi R^2 (1 - \cos\beta)$$

	Подставляем полученное выражение в определение телесного угла:		Подставляем полученное выражение в определение телесного угла:

	$$\Omega = \frac{S}{R^2} = 2\pi (1 - \cos\beta)$$		$$\Omega = \frac{S}{R^2} = 2\pi (1 - \cos\beta)$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}tg\frac{\beta}{2}$		$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\tan\frac{\beta}{2}$