7.1.27 | revision #14785 | Savchenko Solutions

Условие

7.1.27. а. Электрон влетает в осесимметричное электрическое поле, созданное неподвижными зарядами, и движется первоначально параллельно оси поля на расстоянии $$r$$ от нее. Скорость электрона $$v$$ . Если скорость электрона и расстояние от него до оси меняются при движении в поле незначительно, то импульс, приобретенный электроном, можно оценить по формуле $p_⊥ = \frac{eq}{2πε0vr}$ , где $$q$$ — суммарный электрический заряд внутри цилиндрической области радиуса $$r$$ . Выведите, используя теорему Гаусса, эту формулу.

б. Определите поперечный импульс, приобретенный зарядом $$q_1$$ , который пролетел мимо заряда $$q_2$$ . Минимальное расстояние между зарядами $$r$$ , скорость заряда $$q_1$$ вначале была равна $$v$$ и менялась незначительно.

в. Оцените минимальное расстояние от ядра атома азота, на котором пролетал ускоренный разностью потенциалов 100 кВ электрон, если он отклонился ядром на угол $рад$10^{\text −3} \hspace{0.1cm} рад$$ .

Решение

(a) Поскольку электрическое поле осесимметрично, мы будем использовать суперпозицию, где электрон взаимодействует с точечным зарядом $$q$$ .

$E(\theta) = \frac{kq}{(r/\sin\theta )^2}$ .

$F(\theta)=eE(\theta)=\frac{kq}{(r/\sin\theta )^2}$ .

$$$dr=vdt$$$ .

$F_y=F\sin\theta$ .

$dP_y=F_ydt=\frac{kqe}{vr}\sin\theta d\theta$ .

$P_y=\frac{kqe}{vr}\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta = \frac{2kqe}{vr}$ .

$P_y = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0vr}$ .

(б) Воспользуемся ответом части (a), где вместо электрона и частицы q будут два точечных заряда с номиналами $$q_1,q_2$$ .

$P_y=\frac{q_1 q_2}{2 \pi \epsilon_0vr}$ .

(в) $\tan\alpha = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0 m v^2 r}$ .

$\frac{m v^2}{2}=e \Delta \phi$ .

$\tan\alpha \approx \alpha$ .

$\tan\alpha = \frac{kq}{\Delta \phi r} \longrightarrow r=\frac{kq}{\alpha \Delta \phi}$ .

Ответ

(a) $P_y = \frac{qe}{2 \pi \epsilon_0vr}$

(б) $P_y=\frac{q_1 q_2}{2 \pi \epsilon_0vr}$

(в) $r=\frac{kq}{\alpha \Delta \phi}=1 \cdot 10^{\text -10} \textrm{ m}$