$9.3.10.$ По поверхности полубесконечного кругового цилиндра радиуса $R$ течет поперечный ток линейной плотности $i$.
$а.$ Определите составляющую индукции магнитного поля вдоль оси цилиндра в крайнем его сечении $AA′$.
$б.$ Как зависит индукция магнитного поля на оси цилиндра от расстояний $x_1$ и $x_2$ до его конца? Чему равна эта индукция на больших расстояниях от цилиндра?
где $\Omega$ — телесный угол, под которым видна поверхность.
@@ -16,17 +16,32 @@Решение
$а.$ В сечении AA′ телесный угол $\Omega=2\pi$.(Можно представить себя находящимся в сечении $AA′$, тогда половину видимого пространства будет "занимать" поверхность цилиндра)
Тогда составляющая индукции магнитного поля вдоль оси цилиндра (а значит, параллельная поверхности с током) равна
$б. 1)$ Рассмотрим расстояние $x_1$. Находясь на оси цилиндра мы видим его как кольцо, причем под телесным углом, эквивалентном телесному углу круглого конуса с основанием радиуса $R$ и высотой $x_1$.Тогда
−
$$\Omega = 2\pi (1 - \cos\alpha)\tag{2}$$
+
$$\Omega = 2\pi (1 - \cos\alpha)\tag{3}$$
где $\alpha$ - угол полураствора конуса,
$$\cos\alpha=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+R^2}}$$
Формула (2) была выведена в задаче $9.3.18$. Подставляя всё это в (1):
При $x_1\to0\qquad B\to\frac{1}{2}\mu_0i$, что соответствует выражению (2)
+
+
При $x_1\to\infty\qquad B\to0$*
+
+
*Савченко руководствовался немного другой логикой, используя приближение $(1+n)^{\alpha}\approx1+\alpha n$ для малых $n$. Тогда при $x_1\to\infty\qquad\frac{R}{x_1}\ll1 $
$2)$ Теперь рассмотрим $x_2$. В этом случае телесный угол будет разностью полного телесного угла и телесного угла конуса, аналогичного описанному в п.$1$.
$9.3.10.$ По поверхности полубесконечного кругового цилиндра радиуса $R$ течет поперечный ток линейной плотности $i$.
$9.3.10.$ По поверхности полубесконечного кругового цилиндра радиуса $R$ течет поперечный ток линейной плотности $i$.
$а.$ Определите составляющую индукции магнитного поля вдоль оси цилиндра в крайнем его сечении $AA′$.
$а.$ Определите составляющую индукции магнитного поля вдоль оси цилиндра в крайнем его сечении $AA′$.
$б.$ Как зависит индукция магнитного поля на оси цилиндра от расстояний $x_1$ и $x_2$ до его конца? Чему равна эта индукция на больших расстояниях от цилиндра?
$б.$ Как зависит индукция магнитного поля на оси цилиндра от расстояний $x_1$ и $x_2$ до его конца? Чему равна эта индукция на больших расстояниях от цилиндра?
где $\Omega$ — телесный угол, под которым видна поверхность.
где $\Omega$ — телесный угол, под которым видна поверхность.
@@ -16,17 +16,32 @@Решение
$а.$ В сечении AA′ телесный угол $\Omega=2\pi$.(Можно представить себя находящимся в сечении $AA′$, тогда половину видимого пространства будет "занимать" поверхность цилиндра)
$а.$ В сечении AA′ телесный угол $\Omega=2\pi$.(Можно представить себя находящимся в сечении $AA′$, тогда половину видимого пространства будет "занимать" поверхность цилиндра)
Тогда составляющая индукции магнитного поля вдоль оси цилиндра (а значит, параллельная поверхности с током) равна
Тогда составляющая индукции магнитного поля вдоль оси цилиндра (а значит, параллельная поверхности с током) равна
$б. 1)$ Рассмотрим расстояние $x_1$. Находясь на оси цилиндра мы видим его как кольцо, причем под телесным углом, эквивалентном телесному углу круглого конуса с основанием радиуса $R$ и высотой $x_1$.Тогда
$б. 1)$ Рассмотрим расстояние $x_1$. Находясь на оси цилиндра мы видим его как кольцо, причем под телесным углом, эквивалентном телесному углу круглого конуса с основанием радиуса $R$ и высотой $x_1$.Тогда
$$\Omega = 2\pi (1 - \cos\alpha)\tag{2}$$
$$\Omega = 2\pi (1 - \cos\alpha)\tag{3}$$
где $\alpha$ - угол полураствора конуса,
где $\alpha$ - угол полураствора конуса,
$$\cos\alpha=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+R^2}}$$
$$\cos\alpha=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+R^2}}$$
Формула (2) была выведена в задаче $9.3.18$. Подставляя всё это в (1):
Формула (2) была выведена в задаче $9.3.18$. Подставляя всё это в (1):
При $x_1\to0\qquad B\to\frac{1}{2}\mu_0i$, что соответствует выражению (2)
При $x_1\to\infty\qquad B\to0$*
*Савченко руководствовался немного другой логикой, используя приближение $(1+n)^{\alpha}\approx1+\alpha n$ для малых $n$. Тогда при $x_1\to\infty\qquad\frac{R}{x_1}\ll1 $
$2)$ Теперь рассмотрим $x_2$. В этом случае телесный угол будет разностью полного телесного угла и телесного угла конуса, аналогичного описанному в п.$1$.
$2)$ Теперь рассмотрим $x_2$. В этом случае телесный угол будет разностью полного телесного угла и телесного угла конуса, аналогичного описанному в п.$1$.
