Решение

Сначала найдём напряженность электрического поля внутри ионного пучка. По теореме Гуасса:

$$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$$

Выберем в качестве поверхности интегрирования цилиндр радиуса $r$ (менше радиуса пучка), соосный с пучком и длины $L$. Из симметрии электрическое поле направлено радиально наружу, через торцы поток отсутствует. Поток через боковую поверхность:

$$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=E(r)\cdot 2\pi rL$$

Заряд внутри цилиндра:

$$Q=\rho V=\rho\cdot \pi r^{2}L$$

Подставим в теорему Гаусса:

$$E(r)\cdot 2\pi rL=\frac{\rho\cdot \pi r^{2}L}{\varepsilon_{0}}$$
$$E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_{0}}$$

Это поле направлено к оси цилиндра — следовательно, оно фокусирует электроны.

Электрон испытывает поперечное ускорение по второму закону Ньютона:

$$a_{r}=\ddot{r}=\frac{F}{m_{e}}=\frac{-eE(r)}{m_{e}}=\frac{-e\rho r}{2m_{e}\varepsilon_{0}}$$

Это уравнение гармонического осциллятора:

$$\ddot{r}+\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}r=0$$

где циклическая частота:

$$\omega=\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}}$$

Рассмотрим случай, когда электроны фокусируются внутри пучка