Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #14913 parent #14912 ← older newer →
ru/7.2.2.md +38 −3
@@ -1,11 +1,46 @@
### Условие
−$7.2.2.$ [Вставьте условие задачи]
+$7.2.2.$ Электронный пучок фокусируется положительным объемным зарядом прямого ионного пучка с круглым сечением. На каком расстоянии от входа в ионный пучок фокусируются электроны, если их скорость на входе $\upsilon$, а плотность заряда и длина ионного пучка $\rho$ и $l$?
+![К задаче $7.2.2$|425x150, 70%](../../img/7.2.2/7.2.2.png)
+
### Решение
−hgf
+Сначала найдём напряженность электрического поля внутри ионного пучка. По теореме Гуасса:
+$$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$$
+
+Выберем в качестве поверхности интегрирования цилиндр радиуса $r$ (менше радиуса пучка), соосный с пучком и длины $L$. Из симметрии электрическое поле направлено радиально наружу, через торцы поток отсутствует. Поток через боковую поверхность:
+
+$$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=E(r)\cdot 2\pi rL$$
+
+Заряд внутри цилиндра:
+
+$$Q=\rho V=\rho\cdot \pi r^{2}L$$
+
+Подставим в теорему Гаусса:
+
+$$E(r)\cdot 2\pi rL=\frac{\rho\cdot \pi r^{2}L}{\varepsilon_{0}}$$
+$$E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_{0}}$$
+
+Это поле направлено к оси цилиндра — следовательно, оно фокусирует электроны.
+
+Электрон испытывает поперечное ускорение по второму закону Ньютона:
+
+$$a_{r}=\ddot{r}=\frac{F}{m_{e}}=\frac{-eE(r)}{m_{e}}=\frac{-e\rho r}{2m_{e}\varepsilon_{0}}$$
+
+Это уравнение гармонического осциллятора:
+
+$$\ddot{r}+\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}r=0$$
+
+где циклическая частота:
+
+$$\omega=\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}}$$
+
+Рассмотрим случай, когда электроны фокусируются внутри пучка
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$x=\pi\upsilon\sqrt{\frac{m_{e}\varepsilon_{0}}{2e\rho}} \text{ при } x\lt l$$
+
+$$x=l+\upsilon\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}}\cot\left( \frac{l}{\upsilon}\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}} \right) \text{ при } x\ge l$$