| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.2.2.$ Электронный пучок фокусируется положительным объемным зарядом прямого ионного пучка с круглым сечением. На каком расстоянии от входа в ионный пучок фокусируются электроны, если их скорость на входе $\upsilon$, а плотность заряда и длина ионного пучка $\rho$ и $l$? | | $7.2.2.$ Электронный пучок фокусируется положительным объемным зарядом прямого ионного пучка с круглым сечением. На каком расстоянии от входа в ионный пучок фокусируются электроны, если их скорость на входе $\upsilon$, а плотность заряда и длина ионного пучка $\rho$ и $l$? |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Сначала найдём напряженность электрического поля внутри ионного пучка. По теореме Гуасса: | | Сначала найдём напряженность электрического поля внутри ионного пучка. По теореме Гуасса: |
| | | |
| $$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$$ | | $$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$$ |
| | | |
| Выберем в качестве поверхности интегрирования цилиндр радиуса $r$ (менше радиуса пучка), соосный с пучком и длины $L$. Из симметрии электрическое поле направлено радиально наружу, через торцы поток отсутствует. Поток через боковую поверхность: | | Выберем в качестве поверхности интегрирования цилиндр радиуса $r$ (менше радиуса пучка), соосный с пучком и длины $L$. Из симметрии электрическое поле направлено радиально наружу, через торцы поток отсутствует. Поток через боковую поверхность: |
| | | |
| $$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=E(r)\cdot 2\pi rL$$ | | $$\oint_{S}\vec E\cdot d\vec S=E(r)\cdot 2\pi rL$$ |
| | | |
| Заряд внутри цилиндра: | | Заряд внутри цилиндра: |
| | | |
| $$Q=\rho V=\rho\cdot \pi r^{2}L$$ | | $$Q=\rho V=\rho\cdot \pi r^{2}L$$ |
| | | |
| Подставим в теорему Гаусса: | | Подставим в теорему Гаусса: |
| | | |
| $$E(r)\cdot 2\pi rL=\frac{\rho\cdot \pi r^{2}L}{\varepsilon_{0}}$$ | | $$E(r)\cdot 2\pi rL=\frac{\rho\cdot \pi r^{2}L}{\varepsilon_{0}}$$ |
| $$E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_{0}}$$ | | $$E(r)=\frac{\rho r}{2\varepsilon_{0}}$$ |
| | | |
| Это поле направлено к оси цилиндра — следовательно, оно фокусирует электроны. | | Это поле направлено к оси цилиндра — следовательно, оно фокусирует электроны. |
| | | |
| Электрон испытывает поперечное ускорение по второму закону Ньютона: | | Электрон испытывает поперечное ускорение по второму закону Ньютона: |
| | | |
| $$a_{r}=\ddot{r}=\frac{F}{m_{e}}=\frac{-eE(r)}{m_{e}}=\frac{-e\rho r}{2m_{e}\varepsilon_{0}}$$ | | $$a_{r}=\ddot{r}=\frac{F}{m_{e}}=\frac{-eE(r)}{m_{e}}=\frac{-e\rho r}{2m_{e}\varepsilon_{0}}$$ |
| | | |
| Это уравнение гармонического осциллятора: | | Это уравнение гармонического осциллятора: |
| | | |
| $$\ddot{r}+\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}r=0$$ | | $$\ddot{r}+\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}r=0$$ |
| | | |
| где циклическая частота: | | где циклическая частота: |
| | | |
| $$\omega=\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}}$$ | | $$\omega=\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}}$$ |
| | | |
| Учитывая начальное условие: $r(0)=r_{0}$, получим решение этого дифференциального уравнения: | | Учитывая начальное условие: $r(0)=r_{0}$, получим решение этого дифференциального уравнения: |
| | | |
| $$r(t)=r_{0}\cos(\omega t)$$ | | $$r(t)=r_{0}\cos(\omega t)$$ |
| | | |
| $\textbf{Рассмотрим случай, когда электроны фокусируются внутри пучка.}$ | | $\textbf{Рассмотрим случай, когда электроны фокусируются внутри пучка.}$ |
| | | |
| Вдоль оси электрон движется с постоянной скоростью $\upsilon$, так как поле не действует вдоль оси. Тогда: | | Вдоль оси электрон движется с постоянной скоростью $\upsilon$, так как поле не действует вдоль оси. Тогда: |
| | | |
| $$t=\frac{x}{\upsilon}$$ | | $$t=\frac{x}{\upsilon}$$ |
| | | |
| Фокус возникает тогда, когда электрон пересекает ось ионного пучка. Первое пересечение с осью произойдет при: | | Фокус возникает тогда, когда электрон пересекает ось ионного пучка. Первое пересечение с осью произойдет при: |
| | | |
| $$\omega t=\frac{\pi}{2}\Longrightarrow t=\frac{\pi}{2\omega}$$ | | $$\omega t=\frac{\pi}{2}\Longrightarrow t=\frac{\pi}{2\omega}$$ |
| | | |
| Следовательно: | | Следовательно: |
| | | |
| $$x=\upsilon t=\frac{\pi\upsilon}{2\omega}=\frac{\pi\upsilon}{2}\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}}=\pi\upsilon\sqrt{\frac{m_{e}\varepsilon_{0}}{2e\rho}}$$ | | $$x=\upsilon t=\frac{\pi\upsilon}{2\omega}=\frac{\pi\upsilon}{2}\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}}=\pi\upsilon\sqrt{\frac{m_{e}\varepsilon_{0}}{2e\rho}}$$ |
| | | |
| при $x\lt l$. | | при $x\lt l$. |
| | | |
| $\textbf{Рассмотрим случай, когда фокусировка электронов происходит после выхода из ионного пучка}$, то есть на расстоянии $x\ge l$. | | $\textbf{Рассмотрим случай, когда фокусировка электронов происходит после выхода из ионного пучка}$, то есть на расстоянии $x\ge l$. |
| | | |
| После выхода из пучка электрическое поле исчезает, но электроны продолжают двигаться по инерции по прямолинейной траектории. Электроны, получившие за время пролёта импульс в сторону оси, продолжают сходиться, пока не пересекутся в фокусе. | | После выхода из пучка электрическое поле исчезает, но электроны продолжают двигаться по инерции по прямолинейной траектории. Электроны, получившие за время пролёта импульс в сторону оси, продолжают сходиться, пока не пересекутся в фокусе. |
| | | |
| Скорость вдоль оси $\upsilon$ постоянна. Время пролёта через пучок: | | Скорость вдоль оси $\upsilon$ постоянна. Время пролёта через пучок: |
| | | |
| $$t_{l}=\frac{l}{\upsilon}$$ | | $$t_{l}=\frac{l}{\upsilon}$$ |
| | | |
| На выходе из пучка (в момент времени $t=t_{l}$) координата электрона: | | На выходе из пучка (в момент времени $t=t_{l}$) координата электрона: |
| | | |
| $$r(t_{l})=r_{0}\cos(\omega t_{l})$$ | | $$r(t_{l})=r_{0}\cos(\omega t_{l})$$ |
| | | |
| Его скорость: | | Его скорость: |
| | | |
| $$\frac{d r(t_{l})}{dt}=-r_{0}\omega\sin(\omega t_{l})$$ | | $$\frac{d r(t_{l})}{dt}=-r_{0}\omega\sin(\omega t_{l})$$ |
| | | |
| После выхода из пучка электрон движется равномерно: | | После выхода из пучка электрон движется равномерно: |
| | | |
| $$r(t)=r(t_{l})+\frac{d r(t_{l})}{dt}(t-t_{l})=r(t_{l})+\dot{r}(t_{l})(t-t_{l})$$ | | $$r(t)=r(t_{l})+\frac{d r(t_{l})}{dt}(t-t_{l})=r(t_{l})+\dot{r}(t_{l})(t-t_{l})$$ |
| | | |
| Найдём время $t_{x}$, когда электрон пересекает ось $r(t_{x})=0$: | | Найдём время $t_{x}$, когда электрон пересекает ось $r(t_{x})=0$: |
| | | |
| $$0=r(t_{l})+\dot{r}(t_{l})(t_{x}-t_{l})$$ | | $$0=r(t_{l})+\dot{r}(t_{l})(t_{x}-t_{l})$$ |
| $$t_{x}=t_{l}-\frac{r(t_{l})}{\dot{r}(t_{l})}$$ | | $$t_{x}=t_{l}-\frac{r(t_{l})}{\dot{r}(t_{l})}$$ |
| | | |
| Подставим: | | Подставим: |
| | | |
| $$t_{x}=\frac{l}{\upsilon}-\frac{r_{0}\cos(\omega t_{l})}{-r_{0}\omega\sin(\omega t_{l})}=\frac{l}{\upsilon}+\frac{\cot(\omega t_{l})}{\omega}=\frac{l}{\upsilon}+\frac{1}{\omega}\cot\left( \frac{l\omega}{\upsilon} \right)$$ | | $$t_{x}=\frac{l}{\upsilon}-\frac{r_{0}\cos(\omega t_{l})}{-r_{0}\omega\sin(\omega t_{l})}=\frac{l}{\upsilon}+\frac{\cot(\omega t_{l})}{\omega}=\frac{l}{\upsilon}+\frac{1}{\omega}\cot\left( \frac{l\omega}{\upsilon} \right)$$ |
| | | |
| Расстояние до фокуса: | | Расстояние до фокуса: |
| | | |
| $$x=\upsilon t_{x}=l+\frac{\upsilon}{\omega}\cot\left( \frac{l\omega}{\upsilon} \right)$$ | | $$x=\upsilon t_{x}=l+\frac{\upsilon}{\omega}\cot\left( \frac{l\omega}{\upsilon} \right)$$ |
| | | |
| Подставим формулу циклической частоты: | | Подставим формулу циклической частоты: |
| | | |
| $$x=l+\upsilon\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}} \cot\left( \frac{l}{\upsilon}\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}} \right)$$ | | $$x=l+\upsilon\sqrt{\frac{2m_{e}\varepsilon_{0}}{e\rho}} \cot\left( \frac{l}{\upsilon}\sqrt{\frac{e\rho}{2m_{e}\varepsilon_{0}}} \right)$$ |
