| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $6.4.14.$ На непроводящий диск (1) наклеены четыре проводящих лепестка (2) площади $S$ каждый. При вращении диска лепестки поочередно входят в промежуток между экранирующими обкладками (3), касаясь при этом скользящих заземленных контактов (4). Контакт прерывается, когда лепесток выходит из обкладок. Затем лепесток касается электрода (5), подсоединенного к конденсатору емкости $C$. После прерывания контакта с электродом лепесток входит в зазор второй пары обкладок и т. д. Во сколько раз напряжение на конденсаторе увеличится после $n$ оборотов диска? Зазор между лепестком и экранирующими обкладками $d$ мал по сравнению с размерами лепестка. | | $6.4.14.$ На непроводящий диск (1) наклеены четыре проводящих лепестка (2) площади $S$ каждый. При вращении диска лепестки поочередно входят в промежуток между экранирующими обкладками (3), касаясь при этом скользящих заземленных контактов (4). Контакт прерывается, когда лепесток выходит из обкладок. Затем лепесток касается электрода (5), подсоединенного к конденсатору емкости $C$. После прерывания контакта с электродом лепесток входит в зазор второй пары обкладок и т. д. Во сколько раз напряжение на конденсаторе увеличится после $n$ оборотов диска? Зазор между лепестком и экранирующими обкладками $d$ мал по сравнению с размерами лепестка. |
| | | |
| [P.S. В условии необходимо указать, что конденсатор заряженный] | | [P.S. В условии необходимо указать, что конденсатор заряженный] |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
|  | |  |
| В этой задаче описывается принцип работы электростатической машины, способной с помощью механической работы генерировать достаточно большие напряжения. | | В этой задаче описывается принцип работы электростатической машины, способной с помощью механической работы генерировать достаточно большие напряжения. |
| | | |
| Пусть после $k$ оборотов диска напряжение на конденсаторе равно $U_k$, потенциалы на его обкладках равны $\pm\varphi$. | | Пусть после $k$ оборотов диска напряжение на конденсаторе равно $U_k$, потенциалы на его обкладках равны $\pm\varphi$. |
| $$ | | $$ |
| \varphi-(-\varphi)=2\varphi=U_k\tag{1} | | \varphi-(-\varphi)=2\varphi=U_k\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| Когда лепесток касается заземлённого контакта, его потенциал равен 0. | | Когда лепесток касается заземлённого контакта, его потенциал равен 0. |
| Когда проводящий лепесток (2) входит в промежуток между экранирующими обкладками (3)(напримеря, подключёнными к обкладке с потенциалом $\varphi$) он становится частью 2 плоских конденсаторов (последовательно соединенных) с площадью пластин $S$ и зазором $d$.Каждый конденсатор имеет ёмкость | | Когда проводящий лепесток (2) входит в промежуток между экранирующими обкладками (3)(напримеря, подключёнными к обкладке с потенциалом $\varphi$) он становится частью 2 плоских конденсаторов (последовательно соединенных) с площадью пластин $S$ и зазором $d$.Каждый конденсатор имеет ёмкость |
| $$ | | $$ |
| C_0 = \frac{\varepsilon_0S}{d}\tag{2} | | C_0 = \frac{\varepsilon_0S}{d}\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| Разность потенциалов на каждом конденсаторе равна $\varphi-0=\varphi$. Поэтому на лепестке индуцируется заряд | | Разность потенциалов на каждом конденсаторе равна $\varphi-0=\varphi$. Поэтому на лепестке индуцируется заряд |
| $$ | | $$ |
| \Delta q=2\varphi C_0=U_kC_0\tag{3} | | \Delta q=2\varphi C_0=U_kC_0\tag{3} |
| $$ | | $$ |
| Этот заряд при касании с электродом (5) перетекает на обкладку конденсатора $C$, в это же время противоположный лепесток (как следует из аналогичных рассуждений) передаёт на вторую обкладку заряд $-\Delta q$. Поэтому напряжение на конденсаторе увеличивается: | | Этот заряд при касании с электродом (5) перетекает на обкладку конденсатора $C$, в это же время противоположный лепесток (как следует из аналогичных рассуждений) передаёт на вторую обкладку заряд $-\Delta q$. Поэтому напряжение на конденсаторе увеличивается: |
| $$ | | $$ |
| U_{k+1}=\frac{q}{C}=\frac{U_kC+U_kC_0}{C}=U_k\left({1+\frac{C_0}{C}}\right)\tag{4} | | U_{k+1}=\frac{q}{C}=\frac{U_kC+U_kC_0}{C}=U_k\left({1+\frac{C_0}{C}}\right)\tag{4} |
| $$ | | $$ |
| В этой формуле несложно узнать рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии. Пользуясь свойствами такой прогрессиии, найдем напряжение на конденсаторе после $N$ циклов: | | В этой формуле несложно узнать рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии. Пользуясь свойствами такой прогрессиии, найдем напряжение на конденсаторе после $N$ циклов: |
| $$ | | $$ |
| U_{N}=U_0\left({1+\frac{C_0}{C}}\right)^N\tag{5} | | U_{N}=U_0\left({1+\frac{C_0}{C}}\right)^N\tag{5} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Теперь учтем, что за один оборот диска каждый из 4 лепестков проходит 2 цикла, а в одном цикле учавствуют 2 лепестка, поэтому итоговый ответ: | | Теперь учтем, что за один оборот диска каждый из 4 лепестков проходит 2 цикла, а в одном цикле учавствуют 2 лепестка, поэтому итоговый ответ: |
| $$ | | $$ |
| \frac{U}{U_0}=\left({\frac{Cd+\varepsilon_0S}{Cd}}\right)^{4n} | | \frac{U}{U_0}=\left({\frac{Cd+\varepsilon_0S}{Cd}}\right)^{4n} |
| $$ | | $$ |
