$6.4.14.$ На непроводящий диск (1) наклеены четыре проводящих лепестка (2) площади $S$ каждый. При вращении диска лепестки поочередно входят в промежуток между экранирующими обкладками (3), касаясь при этом скользящих заземленных контактов (4). Контакт прерывается, когда лепесток выходит из обкладок. Затем лепесток касается электрода (5), подсоединенного к конденсатору емкости $C$. После прерывания контакта с электродом лепесток входит в зазор второй пары обкладок и т. д. Во сколько раз напряжение на конденсаторе увеличится после $n$ оборотов диска? Зазор между лепестком и экранирующими обкладками $d$ мал по сравнению с размерами лепестка.
[P.S. В условии необходимо указать, что конденсатор заряженный]
### Решение
В этой задаче описывается принцип работы электростатической машины, способной с помощью механической работы генерировать достаточно большие напряжения.
Пусть после $k$ оборотов диска напряжение на конденсаторе равно $U_k$, потенциалы на его обкладках равны $\pm\varphi$.
$$
@@ -13,28 +13,36 @@Решение
\varphi-(-\varphi)=2\varphi=U_k\tag{1}
$$
Когда лепесток касается заземлённого контакта, его потенциал равен 0.
−
Когда проводящий лепесток (2) входит в промежуток между экранирующими обкладками (3)(напримеря, подключёнными к обкладке с потенциалом $\varphi$) он становится частью 2 плоских конденсаторов (последовательно соединенных) с площадью пластин $S$ и зазором $d$.Каждый конденсатор имеет ёмкость
+
Когда проводящий лепесток (2) входит в промежуток между экранирующими обкладками (3)(напримеря, подключёнными к обкладке с потенциалом $\varphi$) он становится частью 2 плоских конденсаторов (паралленльно соединенных) с площадью пластин $S$ и зазором $d$.Каждый конденсатор имеет ёмкость
$$
C_0 = \frac{\varepsilon_0S}{d}\tag{2}
$$
Разность потенциалов на каждом конденсаторе равна $\varphi-0=\varphi$. Поэтому на лепестке индуцируется заряд
$$
\Delta q=2\varphi C_0=U_kC_0\tag{3}
$$
−
Этот заряд при касании с электродом (5) перетекает на обкладку конденсатора $C$, в это же время противоположный лепесток (как следует из аналогичных рассуждений) передаёт на вторую обкладку заряд $-\Delta q$. Поэтому напряжение на конденсаторе увеличивается:
+
Этот заряд при касании с электродом (5) перераспределяется между конденсатором $C$ и двумя конденсаторами $C_0$ , в это же время противоположный лепесток (как следует из аналогичных рассуждений) передаёт на вторую половину цепи заряд $-\Delta q$. Одновременно вторая пара лепестков входит в экранирующие обкладки.
В этой формуле несложно узнать рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии. Пользуясь свойствами такой прогрессиии, найдем напряжение на конденсаторе после $N$ циклов:
$6.4.14.$ На непроводящий диск (1) наклеены четыре проводящих лепестка (2) площади $S$ каждый. При вращении диска лепестки поочередно входят в промежуток между экранирующими обкладками (3), касаясь при этом скользящих заземленных контактов (4). Контакт прерывается, когда лепесток выходит из обкладок. Затем лепесток касается электрода (5), подсоединенного к конденсатору емкости $C$. После прерывания контакта с электродом лепесток входит в зазор второй пары обкладок и т. д. Во сколько раз напряжение на конденсаторе увеличится после $n$ оборотов диска? Зазор между лепестком и экранирующими обкладками $d$ мал по сравнению с размерами лепестка.
$6.4.14.$ На непроводящий диск (1) наклеены четыре проводящих лепестка (2) площади $S$ каждый. При вращении диска лепестки поочередно входят в промежуток между экранирующими обкладками (3), касаясь при этом скользящих заземленных контактов (4). Контакт прерывается, когда лепесток выходит из обкладок. Затем лепесток касается электрода (5), подсоединенного к конденсатору емкости $C$. После прерывания контакта с электродом лепесток входит в зазор второй пары обкладок и т. д. Во сколько раз напряжение на конденсаторе увеличится после $n$ оборотов диска? Зазор между лепестком и экранирующими обкладками $d$ мал по сравнению с размерами лепестка.
[P.S. В условии необходимо указать, что конденсатор заряженный]
[P.S. В условии необходимо указать, что конденсатор заряженный]
### Решение
### Решение
В этой задаче описывается принцип работы электростатической машины, способной с помощью механической работы генерировать достаточно большие напряжения.
В этой задаче описывается принцип работы электростатической машины, способной с помощью механической работы генерировать достаточно большие напряжения.
Пусть после $k$ оборотов диска напряжение на конденсаторе равно $U_k$, потенциалы на его обкладках равны $\pm\varphi$.
Пусть после $k$ оборотов диска напряжение на конденсаторе равно $U_k$, потенциалы на его обкладках равны $\pm\varphi$.
$$
$$
@@ -13,28 +13,36 @@Решение
\varphi-(-\varphi)=2\varphi=U_k\tag{1}
\varphi-(-\varphi)=2\varphi=U_k\tag{1}
$$
$$
Когда лепесток касается заземлённого контакта, его потенциал равен 0.
Когда лепесток касается заземлённого контакта, его потенциал равен 0.
Когда проводящий лепесток (2) входит в промежуток между экранирующими обкладками (3)(напримеря, подключёнными к обкладке с потенциалом $\varphi$) он становится частью 2 плоских конденсаторов (последовательно соединенных) с площадью пластин $S$ и зазором $d$.Каждый конденсатор имеет ёмкость
Когда проводящий лепесток (2) входит в промежуток между экранирующими обкладками (3)(напримеря, подключёнными к обкладке с потенциалом $\varphi$) он становится частью 2 плоских конденсаторов (паралленльно соединенных) с площадью пластин $S$ и зазором $d$.Каждый конденсатор имеет ёмкость
$$
$$
C_0 = \frac{\varepsilon_0S}{d}\tag{2}
C_0 = \frac{\varepsilon_0S}{d}\tag{2}
$$
$$
Разность потенциалов на каждом конденсаторе равна $\varphi-0=\varphi$. Поэтому на лепестке индуцируется заряд
Разность потенциалов на каждом конденсаторе равна $\varphi-0=\varphi$. Поэтому на лепестке индуцируется заряд
$$
$$
\Delta q=2\varphi C_0=U_kC_0\tag{3}
\Delta q=2\varphi C_0=U_kC_0\tag{3}
$$
$$
Этот заряд при касании с электродом (5) перетекает на обкладку конденсатора $C$, в это же время противоположный лепесток (как следует из аналогичных рассуждений) передаёт на вторую обкладку заряд $-\Delta q$. Поэтому напряжение на конденсаторе увеличивается:
Этот заряд при касании с электродом (5) перераспределяется между конденсатором $C$ и двумя конденсаторами $C_0$ , в это же время противоположный лепесток (как следует из аналогичных рассуждений) передаёт на вторую половину цепи заряд $-\Delta q$. Одновременно вторая пара лепестков входит в экранирующие обкладки.
В этой формуле несложно узнать рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии. Пользуясь свойствами такой прогрессиии, найдем напряжение на конденсаторе после $N$ циклов:
В этой формуле несложно узнать рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии. Пользуясь свойствами такой прогрессиии, найдем напряжение на конденсаторе после $N$ циклов:
