Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #14943 parent #14941 ← older
ru/7.2.1.md +47 −3
@@ -1,11 +1,55 @@
### Условие
−$7.2.1.$ [Вставьте условие задачи]
+$7.2.1.$ Параллельный пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов $V_{0}$, фокусируется на детали в случае, когда на электронную линзу подан потенциал $V$. Как нужно изменить потенциал линзы в случае, если энергия электронов в пучке увеличилась в два раза?
### Решение
−ывв
+Для простоты будем считать, что пучок электронов обладает осевой симметрией. Введём дополнительные параметры, которые будут характеризовать нашу электронную линзу. Пусть $l$ - характерная длина линзы, $d$ - высота зазора в линзе, куда влетает пучок электронов, $r$ - радиус пучка ($r\le \frac{d}{2}$).
+По условию задачи электрон в пучке ускоряется до энергии:
+
+$$eV_{0}=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}\Longrightarrow m\upsilon^{2}=2eV_{0} \tag{1}$$
+
+В электронной линзе действует электрическое поле, которое направлено перпендикулярно пучку и "прижимающее" электроны к оси пучка:
+
+$$E=\frac{V}{d}$$
+
+Тогда поперечная сила, действующая на электрон:
+
+$$F=eE=\frac{eV}{d}$$
+
+Вдоль оси пучка сохраняется импульс электрона, поскольку вдоль этой оси на электрон не действуют силы. Тогда время пролёта линзы:
+
+$$\Delta t=\frac{l}{\upsilon}$$
+
+Согласно второму закону Ньютона найдём приобретаемую поперечную скорость электроном:
+
+$$\Delta \upsilon_{\bot }=\frac{F}{m}\Delta t=\frac{eVl}{md\upsilon}$$
+
+Тогда отклонение угла траектории:
+
+$$\tan\theta=\frac{\upsilon_{\bot }}{\upsilon}=\frac{eVl}{m\upsilon^{2}d}$$
+
+Подставим (1):
+
+$$\tan\theta=\frac{eVl}{2eV_{0}d}=\frac{lV}{2dV_{0}} \tag{2}$$
+
+С другой стороны:
+
+$$\tan\theta=\frac{r}{f} \tag{3}$$
+
+где $f$ - фокусное расстояние (точка, где электрон пересекает ось пучка).
+
+Приравниваем (2) и (3):
+
+$$\frac{r}{f}=\frac{lV}{2dV_{0}}\Longrightarrow f=\frac{2drV_{0}}{lV}$$
+
+Итак,
+
+$$f\sim \frac{V_{0}}{V}$$
+
+Чтобы фокус не изменился при увеличении $V_{0}$ в 2 раза, надо в 2 раза увеличить $V$ - потенциал на линзе.
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+Увеличить в два раза.