Решение

Так как электрическое поле однородно справедливо уравнение:

.

$$E=\frac{V}{d}$$

.

Единственная сила создающая движение это электрическое взаимодействие с внешним электрическим полем.

.

$$F=eE=\frac{eV}{d}$$
$$F=m_ea$$

.

Так как начальная скорость нулевая справедливо:

.

$$2ax=v^2$$

.

Пользуясь данными уравнениями находим скорость электрона в зависимости от расстояние $x$

.

$$v^2=\frac{2eV}{m_ed} \hspace{0.1cm} x$$
.

Малые изменение координаты ($x$) и количества заряда ($q$) за малое время $dt$

.

$$dx=vdt$$
$$dq=I dt$$
$$dq=\rho(x) S dx \Longrightarrow \rho(x)=\frac{I}{Sv(x)}$$

.

Подставляя значение скорости в зависимости от расстояния $x$ выводим конечную зависимость.

.

$$\rho(x)=\frac{I}{S} \sqrt{\hspace{0.1cm} \frac{m_e d}{2eV}} \hspace{0.1cm} \frac{1}{\sqrt{x}}$$

.

Рассмотрим особые точки $x$ как $x=0$ и $x=d$

.

$$\rho(0) \rightarrow \infty$$
$$\rho(d)=\frac{I}{S} \sqrt{\hspace{0.1cm} \frac{m_e }{2eV}}$$

.

Рассмотрим плотность по площади в зависимости от расстояние $x$

.

$$\sigma(x)=\int_{0}^{x}\rho(x)dx$$
$$\sigma(x)=\frac{I}{S} \sqrt{\hspace{0.1cm} \frac{2m_e d}{eV}} \hspace{0.1cm} \sqrt{x}$$

.

Рассмотрим особые точки $x$ как $x=0$ и $x=d$

.

$$\sigma(0)=0$$
$$\sigma(d)=\frac{Id}{S} \sqrt{\hspace{0.1cm} \frac{2m_e }{eV}}$$