$4.3.10.$ С каким ускорением будет двигаться длинное цилиндрическое тело плотности $\rho$ и радиуса $r$ вдоль оси вертикального высокого цилиндрического сосуда радиуса $R$, заполненного жидкостью плотности $\rho_{0}$? Чему равна разность давлений на верхнее и нижнее основания тела, если его длина равна $h$?
Будем решать задачу энергетически. При отсутствии сил трения полная механическая энергия всей системы (жидкость плюс падающее тело) не должна изменяться. Зададим цилиндру небольшое перемещение $x$, при этом цилиндр приобретает некоторую скорость $\upsilon$. Кинетическая энергия цилиндра станет $\frac{1}{2}\rho\pi r^{2}h\upsilon^{2}$. При этом его потенциальная энергия уменьшилась на $\rho\pi r^{2}hgx$.
Кроме того, в силу несжимаемости жидкости часть ее, вытесняемая цилиндром, должна двигаться в противоположном направлении в зазоре между цилиндром и трубой. Так как цилиндр длинный, то можно пренебречь краевыми эффектами и считать, что вся жидкость в зазоре двигается со скоростью $\upsilon_{0}$. С этим связана кинетическая энергия жидкости, равная $\frac{1}{2}\rho_{0}\pi(R^{2}-r^{2})h\upsilon_{0}^{2}$. За счет опускания цилиндра на высоту $x$ жидкость объема $\pi r^{2}x$ поднимается на высоту $h$ и ее потенциальная энергия возрастает на $\rho_{0}\pi r^{2}xgh$.
Связь скорости движения жидкости $\upsilon_{0}$ и цилиндра $\upsilon$ можно найти из уравнения неразрывности: $S\upsilon=const$. В системе отсчёта падаюшего цилиндра на него набегает со скоростью $\upsilon$ поток жидкости площадью сечения $\pi R^{2}$. Затем этот поток проходит с некоторой скоростью $\upsilon_{0}^{'}$ в зазоре между цилиндром и трубой с площадью сечения $\pi(R^{2}-r^{2})$. С учетом уравнения неразрывности должно быть выполнено равенство:
$4.3.10.$ С каким ускорением будет двигаться длинное цилиндрическое тело плотности $\rho$ и радиуса $r$ вдоль оси вертикального высокого цилиндрического сосуда радиуса $R$, заполненного жидкостью плотности $\rho_{0}$? Чему равна разность давлений на верхнее и нижнее основания тела, если его длина равна $h$?
$4.3.10.$ С каким ускорением будет двигаться длинное цилиндрическое тело плотности $\rho$ и радиуса $r$ вдоль оси вертикального высокого цилиндрического сосуда радиуса $R$, заполненного жидкостью плотности $\rho_{0}$? Чему равна разность давлений на верхнее и нижнее основания тела, если его длина равна $h$?
Будем решать задачу энергетически. При отсутствии сил трения полная механическая энергия всей системы (жидкость плюс падающее тело) не должна изменяться. Зададим цилиндру небольшое перемещение $x$, при этом цилиндр приобретает некоторую скорость $\upsilon$. Кинетическая энергия цилиндра станет $\frac{1}{2}\rho\pi r^{2}h\upsilon^{2}$. При этом его потенциальная энергия уменьшилась на $\rho\pi r^{2}hgx$.
Будем решать задачу энергетически. При отсутствии сил трения полная механическая энергия всей системы (жидкость плюс падающее тело) не должна изменяться. Зададим цилиндру небольшое перемещение $x$, при этом цилиндр приобретает некоторую скорость $\upsilon$. Кинетическая энергия цилиндра станет $\frac{1}{2}\rho\pi r^{2}h\upsilon^{2}$. При этом его потенциальная энергия уменьшилась на $\rho\pi r^{2}hgx$.
Кроме того, в силу несжимаемости жидкости часть ее, вытесняемая цилиндром, должна двигаться в противоположном направлении в зазоре между цилиндром и трубой. Так как цилиндр длинный, то можно пренебречь краевыми эффектами и считать, что вся жидкость в зазоре двигается со скоростью $\upsilon_{0}$. С этим связана кинетическая энергия жидкости, равная $\frac{1}{2}\rho_{0}\pi(R^{2}-r^{2})h\upsilon_{0}^{2}$. За счет опускания цилиндра на высоту $x$ жидкость объема $\pi r^{2}x$ поднимается на высоту $h$ и ее потенциальная энергия возрастает на $\rho_{0}\pi r^{2}xgh$.
Кроме того, в силу несжимаемости жидкости часть ее, вытесняемая цилиндром, должна двигаться в противоположном направлении в зазоре между цилиндром и трубой. Так как цилиндр длинный, то можно пренебречь краевыми эффектами и считать, что вся жидкость в зазоре двигается со скоростью $\upsilon_{0}$. С этим связана кинетическая энергия жидкости, равная $\frac{1}{2}\rho_{0}\pi(R^{2}-r^{2})h\upsilon_{0}^{2}$. За счет опускания цилиндра на высоту $x$ жидкость объема $\pi r^{2}x$ поднимается на высоту $h$ и ее потенциальная энергия возрастает на $\rho_{0}\pi r^{2}xgh$.
Связь скорости движения жидкости $\upsilon_{0}$ и цилиндра $\upsilon$ можно найти из уравнения неразрывности: $S\upsilon=const$. В системе отсчёта падаюшего цилиндра на него набегает со скоростью $\upsilon$ поток жидкости площадью сечения $\pi R^{2}$. Затем этот поток проходит с некоторой скоростью $\upsilon_{0}^{'}$ в зазоре между цилиндром и трубой с площадью сечения $\pi(R^{2}-r^{2})$. С учетом уравнения неразрывности должно быть выполнено равенство:
Связь скорости движения жидкости $\upsilon_{0}$ и цилиндра $\upsilon$ можно найти из уравнения неразрывности: $S\upsilon=const$. В системе отсчёта падаюшего цилиндра на него набегает со скоростью $\upsilon$ поток жидкости площадью сечения $\pi R^{2}$. Затем этот поток проходит с некоторой скоростью $\upsilon_{0}^{'}$ в зазоре между цилиндром и трубой с площадью сечения $\pi(R^{2}-r^{2})$. С учетом уравнения неразрывности должно быть выполнено равенство:
