Решение

Будем решать задачу энергетически. При отсутствии сил трения полная механическая энергия всей системы (жидкость плюс падающее тело) не должна изменяться. Зададим цилиндру небольшое перемещение $x$, при этом цилиндр приобретает некоторую скорость $\upsilon$. Кинетическая энергия цилиндра станет $\frac{1}{2}\rho \pi r^{2}h\upsilon^{2}$. При этом его потенциальная энергия уменьшилась на $\rho \pi r^{2}hgx$.

Кроме того, в силу несжимаемости жидкости часть ее, вытесняемая цилиндром, должна двигаться в противоположном направлении в зазоре между цилиндром и трубой. Так как цилиндр длинный, то можно пренебречь краевыми эффектами и считать, что вся жидкость в зазоре двигается со скоростью $\upsilon_{0}$. С этим связана кинетическая энергия жидкости, равная $\frac{1}{2}\rho_{0}\pi(R^{2}-r^{2})h\upsilon_{0}^{2}$. За счет опускания цилиндра на высоту $x$ жидкость объема $\pi r^{2}x$ поднимается на высоту $h$ и ее потенциальная энергия возрастает на $\rho_{0}\pi r^{2}xgh$.

Запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{1}{2}\rho \pi r^{2}h\upsilon^{2}+\frac{1}{2}\rho_{0}\pi(R^{2}-r^{2})h\upsilon_{0}^{2}=\rho \pi r^{2}hgx-\rho_{0}\pi r^{2}xgh$$

$$\rho r^{2}\upsilon^{2}+\rho_{0}(R^{2}-r^{2})\upsilon_{0}^{2}=2r^{2}gx(\rho -\rho_{0}) \tag{1}$$

Связь скорости движения жидкости $\upsilon_{0}$ и цилиндра $\upsilon$ можно найти из уравнения неразрывности: $S\upsilon=const$. В системе отсчёта падаюшего цилиндра на него набегает со скоростью $\upsilon$ поток жидкости площадью сечения $\pi R^{2}$. Затем этот поток проходит с некоторой скоростью $\upsilon_{0}^{'}$ в зазоре между цилиндром и трубой с площадью сечения $\pi(R^{2}-r^{2})$. С учетом уравнения неразрывности должно быть выполнено равенство:

$$\upsilon \pi R^{2}=\upsilon_{0}^{'} \pi(R^{2}-r^{2})$$

Переходя теперь в систему отсчета, связанную с трубой $(\upsilon_{0}=\upsilon_{0}^{'}-\upsilon)$, получим:

$$\upsilon_{0}=\upsilon\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}} \tag{2}$$

Подставляя (2) в (1), выразим зависимость квадрата скорости цилиндра от высоты падения $x$:

$$\upsilon^{2}=\frac{2(\rho-\rho_{0})}{\rho+\rho_{0}\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}}}gx \tag{3}$$

Точно такая же связь между скоростью $\upsilon$ и пройденным расстоянием $x$ выполняется для равноускоренного движения:

$$\upsilon^{2}=2ax \tag{4}$$

где $a$ ускорение тела. Сравнивая соотношения (3) и (4), находим ускорение цилиндра:

$$a=\frac{\rho-\rho_{0}}{\rho+\rho_{0}\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}}}g \tag{5}$$

Для нахождения разности давлений на верхнее и нижнее основание цилиндра запишим второй закон Ньютона:

$$mg-P_{в}\pi r^{2}+P_{н}\pi r^{2}=ma$$
$$\Delta P \pi r^{2}=m(g-a)$$
$$\Delta P \pi r^{2}=\rho\pi r^{2}h(g-a)$$
$$\Delta P =\rho h(g-a) \tag{6}$$

Подставим (5) в (6) и после математических преобразований получим:

$$\Delta P=\frac{\rho R^{2}}{\rho(R^{2}-r^{2})+\rho_{0}r^{2}}\rho_{0}gh$$