Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #15047 parent #15046 ← older
ru/2.8.38.md +53 −3
@@ -1,11 +1,61 @@
### Условие
−$2.8.38.$ [Вставьте условие задачи]
+$2.8.38.$ Однородная балка длины $l$ висит на четырех одинаковых канатах, прикрепленных на расстоянии $l/3$ друг от друга. Канат A удаляют. Для уменьшения опасности разрыва канатов предлагают удалить еще и канат D. Разумно ли это предложение?
+![К задаче $2.8.38$|233x81, 40%](../../img/2.8.38/2.8.38.png)
+
### Решение
−jgf
+Пусть балка имеет массу $m$. Считаем, что канаты растяжимы и обладают жесткостью $k$. Когда удаляют канат А, то вес балки перераспределяется между силами натяжения трёх оставшихся канатов. Силы натяжения канатов будут силами упругости, которые подчиняются закону Гука (относительные удлинения канатов - малы).
+Силы, действующие в нашей системе, приведены на рисунке:
+
+![|1007x1183, 50%](../../img/2.8.38/2.8.38_1.jpeg)
+
+Пусть канат D расстянется на $x$, тогда канат С растянется на $x+y$, а канат В на $x+2y$. По закону Гука:
+
+$$T_{D}=kx \text{ , } T_{C}=k(x+y) \text{ , } T_{B}=k(x+2y)$$
+
+Условие равновесия по силам:
+
+$$T_{D}+T_{C}+T_{B}=mg$$
+$$3k(x+y)=mg$$
+$$x+y=\frac{mg}{3k} \tag{1}$$
+
+Условие равновесия по моментам (относительно центра тяжести $\frac{l}{2}$):
+
+$$T_{B}(\frac{l}{2}-\frac{l}{3})-T_{C}(\frac{l}{2}-\frac{l}{3})-T_{D}\frac{l}{2}=0$$
+$$k(x+2y)\frac{l}{6}-k(x+y)\frac{l}{6}-kx\frac{l}{2}=0$$
+
+Отсюда:
+
+$$y=3x \tag{2}$$
+
+Подставим (2) в (1):
+
+$$x+3x=\frac{mg}{3k}$$
+$$x=\frac{mg}{12k}$$
+
+Тогда:
+
+$$y=\frac{mg}{4k}$$
+
+Выразим силы натяжения канатов:
+
+$$T_{D}=kx=\frac{mg}{12}$$
+$$T_{C}=k(x+y)=k\frac{mg}{3k}=\frac{mg}{3}$$
+$$T_{B}=k(x+2y)=k(\frac{mg}{12k}+\frac{mg}{2k})=\frac{7mg}{12}$$
+
+Если удалить канат D, тогда из условий равновесия:
+
+$$T_{B}^{'}=T_{C}^{'}=\frac{mg}{2}$$
+
+Сравнивая $T_{B}$ и $T_{B}^{'}$, видим, что:
+
+$$T_{B}=\frac{7mg}{12} \gt \frac{mg}{2}=T_{B}^{'}$$
+
+Итак, предложение удалить D — разумно (канат В будет менше нагружен).
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+Разумно.