Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #15065 parent #15063 ← older newer →
ru/7.4.34.md +46 −3
@@ -1,11 +1,54 @@
### Условие
−$7.4.34.$ [Вставьте условие задачи]
+$7.4.34.$ Вдоль оси длинного цилиндрического канала, вырезанного в проводнике, пролетает тонкий стержень, линейная плотность заряда которого $\rho$. Длина стержня $l$ много больше радиуса $R_{1}$ и $R_{2}$. Вдали от области сужения канала справа скорость стержня $\upsilon_{0}$. Найдите скорость стержня вдали от области сужения канала слева. Масса стержня $m$.
+![К задаче $7.4.34$|204x84, 50%](../../img/7.4.34/7.4.34.png)
+
### Решение
−hgf
+Заряженный стержень своим полем формирует индуцированные заряды на внутренней поверхности цилиндрической полости. И если стержень достаточно длинный, то индуцированные заряды не создают поля внутри полости. А в области сужения полости поле индуцированных зарядов имеет составляющую вдоль оси полости. Иначе говоря, индуцированные заряды, располагающиеся на склоне области сужения полости, начнут притягивать движущийся стержень, что и приводит к замедлению его движения.
+Вместе с движущимся стержнем перемещается и область пространства, заполненного электрическим полем. Причем объем этого пространства слева и справа от области сужения различен. Следовательно, различна и энергия электрического поля. Ее изменение как раз и равно убыли кинетической энергии движущегося стержня:
+
+$$\frac{1}{2}m\upsilon_{0}^{2}-\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\Delta W$$
+
+Отсюда:
+
+$$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{2\Delta W}{m\upsilon_{0}^{2}}} \tag{1}$$
+
+Энергия электрического поля в некотором объёме:
+
+$$W=\int\frac{\varepsilon_{0}E^{2}}{2}dV$$
+
+Напряженность электрического поля, созданного стержнем, на расстоянии $r$ найдём из теоремы Гаусса:
+
+$$\int \vec E\cdot d\vec S=\frac{q}{\varepsilon_{0}}$$
+$$E\cdot 2\pi rl=\frac{q}{\varepsilon_{0}}$$
+
+где $l$ - длина стержня. Поскольку $\rho=\frac{q}{l}$, окончательно получим:
+
+$$E=\frac{\rho}{2\pi\varepsilon_{0}r}$$
+
+Для цилиндрической области элементарный объём: $dV=2\pi rldr$.
+
+Хоть стержень у нас тонкий, он всё равно обладает некоторой толщиной. Обозначим её $2\delta$. Тогда энергия электрического поля, созданного стержнем в цилиндрической
+полости радиусом $R_{2}$:
+
+$$W_{2}=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{\delta}^{R_{2}}\frac{2\rho^{2}\pi rl}{4\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2}r^{2}}dr=\frac{l\rho^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{R_{2}}{\delta}$$
+
+Аналогично энергия электрического поля, созданного стержнем в цилиндрической
+полости радиусом $R_{1}$:
+
+$$W_{1}=\frac{l\rho^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{R_{1}}{\delta}$$
+
+При изменении радиуса полости от $R_{2}$ до $R_{1}$ энергия поля изменяется на величину:
+
+$$\Delta W=W_{1}-W_{2}=\frac{l\rho^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\ln\frac{R_{1}}{R_{2}} \tag{2}$$
+
+Подставим (2) в (1) и найдём скорость стержня:
+
+$$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{\rho^{2}l}{2\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}}\ln\frac{R_{1}}{R_{2}}}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\upsilon=\upsilon_{0}\sqrt{1-\frac{\rho^{2}l}{2\pi\varepsilon_{0}m\upsilon_{0}^{2}}\ln\frac{R_{1}}{R_{2}}}$$