Edit to “Альтеонативное решение”

Shrodinger_cat edited Aug 3, 2025, 7:34 PM

View solution History

revision #15229 parent #13714 ← older newer →

ru/4.1.20.md +31 −0

			### Условие

			$4.1.20.$ Найдите давление на расстоянии $r$ от центра жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость имеет плотность $ρ$. Чему равно давление в центре планеты? Гравитационная постоянная $γ$.

			### Решение

			В сферически симметричном случае приращение гидростатического давления при изменении радиуса на $dr$ будет:

			$$dP_{r}=\rho g(r)dr$$

			где $g(r)$ - ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра.

			По теореме Гаусса, гравитационное ускорение внутри сферы радиуса $r$ определяется массой, заключенной в сфере радиуса $r$:

			$$M(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho$$

			По закону всемирного тяготения Ньютона:

			$$g(r)=\frac{\gamma M(r)}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi \gamma \rho r$$

			Подставим в выражение для давления:

			$$dP_{r}=\rho \frac{4}{3}\pi \gamma \rho rdr$$

			Проинтегрируем от $r$ до $R$ с учетом граничного условия $P_{r}(R)=0$ на поверхности планеты гидростатическое давление равно нулю.

			$$P_{r}(r)=\int_{r}^{R}\frac{4}{3}\rho^{2}\pi \gamma rdr=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma \left( R^{2}-r^{2} \right)$$

			В центре планеты $r=0$ давление будет:
		@@ -30,9 +30,40 @@Решение

			$$P_{r}(0)=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma R^{2}$$

		+	### Альтеонативное решение
		+	Силу гидростатического давления можно найти из равновесия столба жидкости: сила гравитационного притяжения, приложенная к центру столба, будет уравновешена силой гидростатического давления:
		+	![К задаче $4.1.20$\|174x162, 70%](../../img/4.1.20/2025-08-03_22-07-14.png)

		+	$$
		+	F_r = mg(r)
		+	$$
		+	Для того, чтобы определить напряжёность гравитационного поля внутри шара, воспользуемся теоремой Гаусса:
		+	$$
		+	g(r) \cdot 4\pi l^2 = \frac{4\pi \gamma M l^3}{R^3} \quad \Rightarrow \quad g(r) =
		+	\frac{\gamma M l}{R^3}
		+	$$
		+	где $l$ - расстояние от центра планеты, до центра столба жидкости. И равно:
		+	$$
		+	l = r + \frac{R-r}{2}
		+	$$
		+	Найдём силу:
		+	$$
		+	F_r = \frac{\gamma Mm l}{R^3} = \frac{\gamma M\rho l}{R^3} S (R-r) = \frac{\gamma M\rho }{R^3} S (R^2-r^2)
		+	$$
		+	Масса планеты равна:
		+	$$
		+	M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3
		+	$$
		+	Тогда давление будет равно:
		+	$$
		+	P_r = \frac{F_r}{S} = \frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right)
		+	$$
		+	При $r = 0$:
		+	$$
		+	P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}
		+	$$
			#### Ответ

			$P_{r}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right)$

			$P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}$

	### Условие		### Условие

	$4.1.20.$ Найдите давление на расстоянии $r$ от центра жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость имеет плотность $ρ$. Чему равно давление в центре планеты? Гравитационная постоянная $γ$.		$4.1.20.$ Найдите давление на расстоянии $r$ от центра жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость имеет плотность $ρ$. Чему равно давление в центре планеты? Гравитационная постоянная $γ$.

	### Решение		### Решение

	В сферически симметричном случае приращение гидростатического давления при изменении радиуса на $dr$ будет:		В сферически симметричном случае приращение гидростатического давления при изменении радиуса на $dr$ будет:

	$$dP_{r}=\rho g(r)dr$$		$$dP_{r}=\rho g(r)dr$$

	где $g(r)$ - ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра.		где $g(r)$ - ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра.

	По теореме Гаусса, гравитационное ускорение внутри сферы радиуса $r$ определяется массой, заключенной в сфере радиуса $r$:		По теореме Гаусса, гравитационное ускорение внутри сферы радиуса $r$ определяется массой, заключенной в сфере радиуса $r$:

	$$M(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho$$		$$M(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho$$

	По закону всемирного тяготения Ньютона:		По закону всемирного тяготения Ньютона:

	$$g(r)=\frac{\gamma M(r)}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi \gamma \rho r$$		$$g(r)=\frac{\gamma M(r)}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi \gamma \rho r$$

	Подставим в выражение для давления:		Подставим в выражение для давления:

	$$dP_{r}=\rho \frac{4}{3}\pi \gamma \rho rdr$$		$$dP_{r}=\rho \frac{4}{3}\pi \gamma \rho rdr$$

	Проинтегрируем от $r$ до $R$ с учетом граничного условия $P_{r}(R)=0$ на поверхности планеты гидростатическое давление равно нулю.		Проинтегрируем от $r$ до $R$ с учетом граничного условия $P_{r}(R)=0$ на поверхности планеты гидростатическое давление равно нулю.

	$$P_{r}(r)=\int_{r}^{R}\frac{4}{3}\rho^{2}\pi \gamma rdr=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma \left( R^{2}-r^{2} \right)$$		$$P_{r}(r)=\int_{r}^{R}\frac{4}{3}\rho^{2}\pi \gamma rdr=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma \left( R^{2}-r^{2} \right)$$

	В центре планеты $r=0$ давление будет:		В центре планеты $r=0$ давление будет:
	@@ -30,9 +30,40 @@Решение

	$$P_{r}(0)=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma R^{2}$$		$$P_{r}(0)=\frac{2}{3}\rho^{2}\pi \gamma R^{2}$$

			### Альтеонативное решение
			Силу гидростатического давления можно найти из равновесия столба жидкости: сила гравитационного притяжения, приложенная к центру столба, будет уравновешена силой гидростатического давления:
			![К задаче $4.1.20$\|174x162, 70%](../../img/4.1.20/2025-08-03_22-07-14.png)

			$$
			F_r = mg(r)
			$$
			Для того, чтобы определить напряжёность гравитационного поля внутри шара, воспользуемся теоремой Гаусса:
			$$
			g(r) \cdot 4\pi l^2 = \frac{4\pi \gamma M l^3}{R^3} \quad \Rightarrow \quad g(r) =
			\frac{\gamma M l}{R^3}
			$$
			где $l$ - расстояние от центра планеты, до центра столба жидкости. И равно:
			$$
			l = r + \frac{R-r}{2}
			$$
			Найдём силу:
			$$
			F_r = \frac{\gamma Mm l}{R^3} = \frac{\gamma M\rho l}{R^3} S (R-r) = \frac{\gamma M\rho }{R^3} S (R^2-r^2)
			$$
			Масса планеты равна:
			$$
			M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3
			$$
			Тогда давление будет равно:
			$$
			P_r = \frac{F_r}{S} = \frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right)
			$$
			При $r = 0$:
			$$
			P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}
			$$
	#### Ответ		#### Ответ

	$P_{r}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right)$		$P_{r}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right)$

	$P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}$		$P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}$