Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/4.1.20.md
+20 −3
| @@ -1,11 +1,28 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.1.20.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $4.1.20.$ Найдите давление на расстоянии $r$ от центра жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость имеет плотность $ρ$. Чему равно давление в центре планеты? Гравитационная постоянная $γ$. | ||
| ### Решение | |||
| − | орп | ||
| + | В сферически симметричном случае приращение гидростатического давления при изменении радиуса на $dr$ будет: | ||
| + | $$dP_{r}=\rho g(r)dr$$ | ||
| + | |||
| + | где $g(r)$ - ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра. | ||
| + | |||
| + | По теореме Гаусса, гравитационное ускорение внутри сферы радиуса $r$ определяется массой, заключенной в сфере радиуса $r$: | ||
| + | |||
| + | $$M(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho$$ | ||
| + | |||
| + | По закону всемирного тяготения Ньютона: | ||
| + | |||
| + | $$g(r)=\frac{\gamma M(r)}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi \gamma \rho r$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим в выражение | ||
| + | |||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $P_{r}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right)$ | ||
| + | |||
| + | $P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}$ | ||
| @@ -1,11 +1,28 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.1.20.$ [Вставьте условие задачи] | $4.1.20.$ Найдите давление на расстоянии $r$ от центра жидкой планеты радиуса $R$, если жидкость имеет плотность $ρ$. Чему равно давление в центре планеты? Гравитационная постоянная $γ$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| орп | В сферически симметричном случае приращение гидростатического давления при изменении радиуса на $dr$ будет: | ||
| $$dP_{r}=\rho g(r)dr$$ | |||
| где $g(r)$ - ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра. | |||
| По теореме Гаусса, гравитационное ускорение внутри сферы радиуса $r$ определяется массой, заключенной в сфере радиуса $r$: | |||
| $$M(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho$$ | |||
| По закону всемирного тяготения Ньютона: | |||
| $$g(r)=\frac{\gamma M(r)}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi \gamma \rho r$$ | |||
| Подставим в выражение | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $P_{r}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}\left( R^{2}-r^{2} \right)$ | ||
| $P_{0}=\frac{2}{3}\pi\gamma\rho^{2}R^{2}$ | |||