Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #15232 parent #15231 ← older
ru/9.4.9.md +60 −3
@@ -1,11 +1,68 @@
### Условие
−$9.4.9.$ [Вставьте условие задачи]
+$9.4.9.$ Составляющая индукции магнитного поля вдоль оси бесконечного цилиндра радиуса $R$ меняется как $B_{0}x/x_{0}$ внутри цилиндра, а вне — эта составляющая равна нулю. Как вне цилиндра зависит радиальная составляющая индукции от расстояния до его оси?
+
### Решение
−dsf
+Используем уравнение Максвелла для магнитного поля:
+$$\nabla \cdot \vec{B} = 0$$
+
+В цилиндрических координатах это уравнение дивергенции:
+
+$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r B_r) +\frac{1}{r} \frac{\partial B_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0$$
+
+Считаем, что поле осесимметричное, так как у нас цилиндр, тогда $\partial B_\varphi/\partial \varphi = 0$ и уравнение упрощается до вида:
+
+$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r B_r) + \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0$$
+
+1. Рассмотрим область внутри цилиндра ($r < R$):
+
+По условию:
+
+$$B_x = B_0 \frac{x}{x_0} \Rightarrow \frac{\partial B_x}{\partial x} = \frac{B_0}{x_0}$$
+
+Подставим в уравнение:
+
+$$\frac{1}{r} \frac{d}{d r}(r B_r) = -\frac{B_0}{x_0}
+\Rightarrow \frac{d}{d r}(r B_r) = -\frac{B_0}{x_0} r
+\Rightarrow r B_r = -\frac{B_0}{2 x_0} r^2 + C$$
+$$B_r^{\text{вн}}(r) = -\frac{B_0}{2 x_0} r + \frac{C}{r}$$
+
+Как видно в области $r=0$ возникает сингулярность, её не должно быть, поэтому константа $C$ должна быть равна 0. Тогда:
+
+$$B_r^{\text{вн}}(r) = -\frac{B_0}{2 x_0} r$$
+
+2. Рассмотрим область вне цилиндра ($r > R$).
+
+Здесь $B_x = 0 \Rightarrow \partial B_x / \partial x = 0$, и уравнение принимает вид:
+
+$$\frac{1}{r} \frac{d}{d r}(r B_r) = 0
+\Rightarrow \frac{d}{d r}(r B_r) = 0
+\Rightarrow r B_r = C_{1} \Rightarrow B_r^{\text{вне}}(r) = \frac{C_{1}}{r}$$
+
+На границе ($r=R$) $B_r$ должна быть непрерывной:
+
+$$B_r^{\text{вн}}(R) = B_r^{\text{вне}}(R)$$
+$$-\frac{B_0}{2 x_0} R = \frac{C_{1}}{R}
+\Rightarrow C_{1} = - \frac{B_0}{2 x_0} R^2$$
+
+Окончательно получим:
+
+$$B_r(r) = -\frac{B_0 R^2}{2 x_0} \cdot \frac{1}{r}, \quad r > R$$
+
+Знак минус в выражении указывает, что вектор $B_r$ направлен в сторону оси цилиндра, то есть поле снаружи замыкается обратно к центру. Это согласуется с тем, что силовые линии магнитного поля не имеют источников и должны замыкаться.
+
+Если ввести обозначение:
+
+$$\alpha = -\frac{B_0 R}{2 x_0}$$
+
+то получим ответ, как в задачнике:
+
+$$B_r(r) = \frac{\alpha R}{r}, \quad r > R$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$B_r(r) = \frac{\alpha R}{r}, \quad r > R$$
+$$\alpha = -\frac{B_0 R}{2 x_0}$$