Решение

Используем уравнение Максвелла для магнитного поля:

$$\nabla \cdot \vec{B} = 0$$

В цилиндрических координатах это уравнение дивергенции:

$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r B_r) +\frac{1}{r} \frac{\partial B_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0$$

Считаем, что поле осесимметричное, так как у нас цилиндр, тогда $\partial B_\varphi/\partial \varphi = 0$ и уравнение упрощается до вида:

$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r B_r) + \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0$$

1. Рассмотрим область внутри цилиндра ($r < R$):

По условию:

$$B_x = B_0 \frac{x}{x_0} \Rightarrow \frac{\partial B_x}{\partial x} = \frac{B_0}{x_0}$$

Подставим в уравнение:

$$\frac{1}{r} \frac{d}{d r}(r B_r) = -\frac{B_0}{x_0} \Rightarrow \frac{d}{d r}(r B_r) = -\frac{B_0}{x_0} r \Rightarrow r B_r = -\frac{B_0}{2 x_0} r^2 + C$$
$$B_r^{\text{вн}}(r) = -\frac{B_0}{2 x_0} r + \frac{C}{r}$$

Как видно в области $r=0$ возникает сингулярность, её не должно быть, поэтому константа $C$ должна быть равна 0. Тогда:

$$B_r^{\text{вн}}(r) = -\frac{B_0}{2 x_0} r$$

2. Рассмотрим область вне цилиндра ($r > R$).

Здесь $B_x = 0 \Rightarrow \partial B_x / \partial x = 0$, и уравнение принимает вид:

$$\frac{1}{r} \frac{d}{d r}(r B_r) = 0 \Rightarrow \frac{d}{d r}(r B_r) = 0 \Rightarrow r B_r = C_{1} \Rightarrow B_r^{\text{вне}}(r) = \frac{C_{1}}{r}$$

На границе ($r=R$) $B_r$ должна быть непрерывной:

$$B_r^{\text{вн}}(R) = B_r^{\text{вне}}(R)$$
$$-\frac{B_0}{2 x_0} R = \frac{C_{1}}{R} \Rightarrow C_{1} = - \frac{B_0}{2 x_0} R^2$$

Окончательно получим:

$$B_r(r) = -\frac{B_0 R^2}{2 x_0} \cdot \frac{1}{r}, \quad r > R$$

Знак минус в выражении указывает, что вектор $B_r$ направлен в сторону оси цилиндра, то есть поле снаружи замыкается обратно к центру. Это согласуется с тем, что силовые линии магнитного поля не имеют источников и должны замыкаться.

Если ввести обозначение:

$$\alpha = -\frac{B_0 R}{2 x_0}$$

то получим ответ, как в задачнике:

$$B_r(r) = \frac{\alpha R}{r}, \quad r > R$$