Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #15245 parent #15244 ← older newer →
ru/4.3.17.md +39 −3
@@ -1,11 +1,47 @@
### Условие
−$4.3.17.$ [Вставьте условие задачи]
+$4.3.17.$ Жидкость в начальный момент заполняет вертикальную часть длины $l$ в тонкой $L$-образной трубке. Плотность жидкости равна $\rho$. Найдите, как зависит от времени высота ее уровня. Найдите распределение давления в момент, когда высота столба жидкости уменьшится наполовину.
+![К задаче $4.3.17$|115x128, 40%](../../img/4.3.17/4.3.17.png)
+
### Решение
−fds
+Для решения задачи применим энергетический подход. Пусть $S$ - площадь поперечного сечения трубки, тогда вся масса жидкости в трубке: $m=\rho Sl$. В начальный момент времени центр масс жидкости находится на высоте $l/2$, её потенциальная энергии равна:
+$$E_{0}=\frac{mgl}{2}=\frac{1}{2}\rho gSl^{2}$$
+
+Через время $t$ высота столба жидкости станет $h$. В этот момент времени масса жидкости в вертикальной трубке $m=\rho Sh$, центр масс находится на высоте $h/2$, тогда потенциальная энергия:
+
+$$E_{1}=\frac{mgh}{2}=\frac{1}{2}\rho gSh^{2}$$
+
+Жидкость движется как в горизонтальной, так и в вертикальной части. Но вся масса движется с одинаковой скоростью. Масса постоянна — $\rho Sl$, скорость — $\upsilon$, тогда кинетическая энергия жидкости:
+
+$$K=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$
+
+Запишем закон сохранения энергии:
+
+$$\frac{1}{2}\rho gSl^{2}-\frac{1}{2}\rho gSh^{2}=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$
+
+Отсюда выразим $\upsilon$:
+
+$$\upsilon=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$
+
+Это скорость убывания высоты столба жидкости:
+
+$$\upsilon=-\frac{dh}{dt}$$
+
+Получим дифференциальное уравнение:
+
+$$-\frac{dh}{dt}=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$
+
+Разделим переменные:
+
+$$\frac{dh}{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}=-\sqrt{\frac{g}{l}}dt$$
+
+Проинтегрируем:
+
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$h=l\cos\left( t\sqrt{\frac{g}{l}} \right)$$