Edit to “Условие”

emixter edited Aug 5, 2025, 2:48 PM

View solution History

revision #15246 parent #15245 ← older newer →

ru/4.3.17.md +1 −1

		@@ -1,8 +1,8 @@
			### Условие

			$4.3.17.$ Жидкость в начальный момент заполняет вертикальную часть длины $l$ в тонкой $L$-образной трубке. Плотность жидкости равна $\rho$. Найдите, как зависит от времени высота ее уровня. Найдите распределение давления в момент, когда высота столба жидкости уменьшится наполовину.

		−	![К задаче $4.3.17$\|115x128, 40%](../../img/4.3.17/4.3.17.png)
		+	![К задаче $4.3.17$\|115x128, 30%](../../img/4.3.17/4.3.17.png)

			### Решение

			Для решения задачи применим энергетический подход. Пусть $S$ - площадь поперечного сечения трубки, тогда вся масса жидкости в трубке: $m=\rho Sl$. В начальный момент времени центр масс жидкости находится на высоте $l/2$, её потенциальная энергии равна:

			$$E_{0}=\frac{mgl}{2}=\frac{1}{2}\rho gSl^{2}$$

			Через время $t$ высота столба жидкости станет $h$. В этот момент времени масса жидкости в вертикальной трубке $m=\rho Sh$, центр масс находится на высоте $h/2$, тогда потенциальная энергия:

			$$E_{1}=\frac{mgh}{2}=\frac{1}{2}\rho gSh^{2}$$

			Жидкость движется как в горизонтальной, так и в вертикальной части. Но вся масса движется с одинаковой скоростью. Масса постоянна — $\rho Sl$, скорость — $\upsilon$, тогда кинетическая энергия жидкости:

			$$K=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$

			Запишем закон сохранения энергии:

			$$\frac{1}{2}\rho gSl^{2}-\frac{1}{2}\rho gSh^{2}=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$

			Отсюда выразим $\upsilon$:

			$$\upsilon=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$

			Это скорость убывания высоты столба жидкости:

			$$\upsilon=-\frac{dh}{dt}$$

			Получим дифференциальное уравнение:

			$$-\frac{dh}{dt}=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$

			Разделим переменные:

			$$\frac{dh}{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}=-\sqrt{\frac{g}{l}}dt$$

			Проинтегрируем:



			#### Ответ

			$$h=l\cos\left( t\sqrt{\frac{g}{l}} \right)$$
		unchanged lines 39

	@@ -1,8 +1,8 @@
	### Условие		### Условие

	$4.3.17.$ Жидкость в начальный момент заполняет вертикальную часть длины $l$ в тонкой $L$-образной трубке. Плотность жидкости равна $\rho$. Найдите, как зависит от времени высота ее уровня. Найдите распределение давления в момент, когда высота столба жидкости уменьшится наполовину.		$4.3.17.$ Жидкость в начальный момент заполняет вертикальную часть длины $l$ в тонкой $L$-образной трубке. Плотность жидкости равна $\rho$. Найдите, как зависит от времени высота ее уровня. Найдите распределение давления в момент, когда высота столба жидкости уменьшится наполовину.

	![К задаче $4.3.17$\|115x128, 40%](../../img/4.3.17/4.3.17.png)		![К задаче $4.3.17$\|115x128, 30%](../../img/4.3.17/4.3.17.png)

	### Решение		### Решение

	Для решения задачи применим энергетический подход. Пусть $S$ - площадь поперечного сечения трубки, тогда вся масса жидкости в трубке: $m=\rho Sl$. В начальный момент времени центр масс жидкости находится на высоте $l/2$, её потенциальная энергии равна:		Для решения задачи применим энергетический подход. Пусть $S$ - площадь поперечного сечения трубки, тогда вся масса жидкости в трубке: $m=\rho Sl$. В начальный момент времени центр масс жидкости находится на высоте $l/2$, её потенциальная энергии равна:

	$$E_{0}=\frac{mgl}{2}=\frac{1}{2}\rho gSl^{2}$$		$$E_{0}=\frac{mgl}{2}=\frac{1}{2}\rho gSl^{2}$$

	Через время $t$ высота столба жидкости станет $h$. В этот момент времени масса жидкости в вертикальной трубке $m=\rho Sh$, центр масс находится на высоте $h/2$, тогда потенциальная энергия:		Через время $t$ высота столба жидкости станет $h$. В этот момент времени масса жидкости в вертикальной трубке $m=\rho Sh$, центр масс находится на высоте $h/2$, тогда потенциальная энергия:

	$$E_{1}=\frac{mgh}{2}=\frac{1}{2}\rho gSh^{2}$$		$$E_{1}=\frac{mgh}{2}=\frac{1}{2}\rho gSh^{2}$$

	Жидкость движется как в горизонтальной, так и в вертикальной части. Но вся масса движется с одинаковой скоростью. Масса постоянна — $\rho Sl$, скорость — $\upsilon$, тогда кинетическая энергия жидкости:		Жидкость движется как в горизонтальной, так и в вертикальной части. Но вся масса движется с одинаковой скоростью. Масса постоянна — $\rho Sl$, скорость — $\upsilon$, тогда кинетическая энергия жидкости:

	$$K=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$		$$K=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$

	Запишем закон сохранения энергии:		Запишем закон сохранения энергии:

	$$\frac{1}{2}\rho gSl^{2}-\frac{1}{2}\rho gSh^{2}=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$		$$\frac{1}{2}\rho gSl^{2}-\frac{1}{2}\rho gSh^{2}=\frac{1}{2}\rho Sl\upsilon^{2}$$

	Отсюда выразим $\upsilon$:		Отсюда выразим $\upsilon$:

	$$\upsilon=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$		$$\upsilon=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$

	Это скорость убывания высоты столба жидкости:		Это скорость убывания высоты столба жидкости:

	$$\upsilon=-\frac{dh}{dt}$$		$$\upsilon=-\frac{dh}{dt}$$

	Получим дифференциальное уравнение:		Получим дифференциальное уравнение:

	$$-\frac{dh}{dt}=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$		$$-\frac{dh}{dt}=\sqrt{\frac{g(l^{2}-h^{2})}{l}}$$

	Разделим переменные:		Разделим переменные:

	$$\frac{dh}{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}=-\sqrt{\frac{g}{l}}dt$$		$$\frac{dh}{\sqrt{l^{2}-h^{2}}}=-\sqrt{\frac{g}{l}}dt$$

	Проинтегрируем:		Проинтегрируем:



	#### Ответ		#### Ответ

	$$h=l\cos\left( t\sqrt{\frac{g}{l}} \right)$$		$$h=l\cos\left( t\sqrt{\frac{g}{l}} \right)$$
	unchanged lines 39