Решение

Из народной приметы второго закона Ньютона в импульсной форме известно, что $Fdt = dp$. Тогда, находя площадь под графиком $F(t)$, мы получаем изменение импульса

$$\int\limits_0^t F(t)dt = \Delta p$$

в нашем случае:

$$\int\limits_0^{2t_0} F(t)dt = F_0 t_0 = \Delta p$$

Так как первое тело покоилось, то

$$mv_1 = \Delta p\Rightarrow \boxed{v_1 = \frac{F_0 t_0}{m_1}}$$

на второе тело сила действует в обратную сторону, соответственно уменьшая импульс, тогда

$$m_2 v_2 = m_2 v - F_0 t_0\Rightarrow \boxed{v_2 = v - \frac{F_0 t_0}{m_2}}$$