Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/7.4.21.md
+32 −4
| @@ -1,11 +1,39 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $7.4.21.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $7.4.21.$ Частица массы $m$, имеющая заряд $q$, со скоростью $\upsilon_{0}$ приближается с большого расстояния к заряженному незакрепленному кольцу, двигаясь по его оси. Радиус кольца $R$, заряд $Q$, масса $M$. Вначале кольцо покоится. Чему будет равна скорость частицы, когда она будет проходить через центр кольца? | ||
| ### Решение | |||
| − | sdf | ||
| + | Из-за электрического взаимодействия между кольцом и частицей, кольцо начнёт двигаться. Направление движения кольца зависит от знаков зарядов частицы и кольца. Если $qQ\gt 0$, то кольцо будет "убегать" от частицы. Если $qQ\lt 0$, то кольцо будет двигаться навстречу частице. | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | Пусть в момент, когда частица проходит через центр кольца, она имеет скорость $\upsilon$, а кольцо имеет скорость $V$. Система замкнута и изолирована. Запишем закон сохранения импульса: | ||
| − | |||
| + | $$m\upsilon_{0}=m\upsilon+MV$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда скорость кольца: | ||
| + | |||
| + | $$V=\frac{m(\upsilon_{0}-\upsilon)}{M} \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Потенциальная энергия электрического взаимодействия на бесконечности равна 0. Потенциальная энергия частицы в центре кольца: | ||
| + | |||
| + | $$U=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$ | ||
| + | |||
| + | Запишем закон сохранения энергии: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{1}{2}m\upsilon_{0}^{2}=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}+\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}R} \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим (1) в (2) и после математических преобразований получим квадратное уравнение относительно $\upsilon$: | ||
| + | |||
| + | $$(m+M)\upsilon^{2}-2m\upsilon_{0}\upsilon+(m-M)\upsilon_{0}^{2}+\frac{qQM}{2\pi\varepsilon_{0}mR}=0$$ | ||
| + | |||
| + | Решая его и выбирая физически допустимый (положительный) корень, получаем ответ: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon=\frac{m\upsilon_{0}}{m+M}+\sqrt{\left( \frac{M\upsilon_{0}}{m+M} \right)^{2}-\frac{QqM}{2\pi\varepsilon_{0}Rm(m+M)}}$$ | ||
| + | |||
| + | В случае $qQ\gt 0$ (отталкивание) частица должна иметь минимально допустимую скорость, чтобы достичь центра кольца: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon_{0_{min}}=\sqrt{\frac{Qq(m+M)}{2\pi\varepsilon_{0}RMm}}$$ | ||
| + | |||
| + | ### Ответ | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon=\frac{m\upsilon_{0}}{m+M}+\sqrt{\left( \frac{M\upsilon_{0}}{m+M} \right)^{2}-\frac{QqM}{2\pi\varepsilon_{0}Rm(m+M)}}$$ | ||
| @@ -1,11 +1,39 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.4.21.$ [Вставьте условие задачи] | $7.4.21.$ Частица массы $m$, имеющая заряд $q$, со скоростью $\upsilon_{0}$ приближается с большого расстояния к заряженному незакрепленному кольцу, двигаясь по его оси. Радиус кольца $R$, заряд $Q$, масса $M$. Вначале кольцо покоится. Чему будет равна скорость частицы, когда она будет проходить через центр кольца? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| sdf | Из-за электрического взаимодействия между кольцом и частицей, кольцо начнёт двигаться. Направление движения кольца зависит от знаков зарядов частицы и кольца. Если $qQ\gt 0$, то кольцо будет "убегать" от частицы. Если $qQ\lt 0$, то кольцо будет двигаться навстречу частице. | ||
| #### Ответ | Пусть в момент, когда частица проходит через центр кольца, она имеет скорость $\upsilon$, а кольцо имеет скорость $V$. Система замкнута и изолирована. Запишем закон сохранения импульса: | ||
| $$m\upsilon_{0}=m\upsilon+MV$$ | |||
| Отсюда скорость кольца: | |||
| $$V=\frac{m(\upsilon_{0}-\upsilon)}{M} \tag{1}$$ | |||
| Потенциальная энергия электрического взаимодействия на бесконечности равна 0. Потенциальная энергия частицы в центре кольца: | |||
| $$U=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$ | |||
| Запишем закон сохранения энергии: | |||
| $$\frac{1}{2}m\upsilon_{0}^{2}=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}+\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}R} \tag{2}$$ | |||
| Подставим (1) в (2) и после математических преобразований получим квадратное уравнение относительно $\upsilon$: | |||
| $$(m+M)\upsilon^{2}-2m\upsilon_{0}\upsilon+(m-M)\upsilon_{0}^{2}+\frac{qQM}{2\pi\varepsilon_{0}mR}=0$$ | |||
| Решая его и выбирая физически допустимый (положительный) корень, получаем ответ: | |||
| $$\upsilon=\frac{m\upsilon_{0}}{m+M}+\sqrt{\left( \frac{M\upsilon_{0}}{m+M} \right)^{2}-\frac{QqM}{2\pi\varepsilon_{0}Rm(m+M)}}$$ | |||
| В случае $qQ\gt 0$ (отталкивание) частица должна иметь минимально допустимую скорость, чтобы достичь центра кольца: | |||
| $$\upsilon_{0_{min}}=\sqrt{\frac{Qq(m+M)}{2\pi\varepsilon_{0}RMm}}$$ | |||
| ### Ответ | |||
| $$\upsilon=\frac{m\upsilon_{0}}{m+M}+\sqrt{\left( \frac{M\upsilon_{0}}{m+M} \right)^{2}-\frac{QqM}{2\pi\varepsilon_{0}Rm(m+M)}}$$ | |||