Решение

Из-за электрического взаимодействия между кольцом и частицей, кольцо начнёт двигаться. Направление движения кольца зависит от знаков зарядов частицы и кольца. Если $qQ\gt 0$, то кольцо будет "убегать" от частицы. Если $qQ\lt 0$, то кольцо будет двигаться навстречу частице.

Пусть в момент, когда частица проходит через центр кольца, она имеет скорость $\upsilon$, а кольцо имеет скорость $V$. Система замкнута и изолирована. Запишем закон сохранения импульса:

$$m\upsilon_{0}=m\upsilon+MV$$

Отсюда скорость кольца:

$$V=\frac{m(\upsilon_{0}-\upsilon)}{M} \tag{1}$$

Потенциальная энергия электрического взаимодействия на бесконечности равна 0. Потенциальная энергия частицы в центре кольца:

$$U=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$

Запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{1}{2}m\upsilon_{0}^{2}=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}+\frac{1}{2}MV^{2}+\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}R} \tag{2}$$

Подставим (1) в (2) и после математических преобразований получим квадратное уравнение относительно $\upsilon$:

$$(m+M)\upsilon^{2}-2m\upsilon_{0}\upsilon+(m-M)\upsilon_{0}^{2}+\frac{qQM}{2\pi\varepsilon_{0}mR}=0$$

Решая его и выбирая физически допустимый (положительный) корень, получаем ответ:

$$\upsilon=\frac{m\upsilon_{0}}{m+M}+\sqrt{\left( \frac{M\upsilon_{0}}{m+M} \right)^{2}-\frac{QqM}{2\pi\varepsilon_{0}Rm(m+M)}}$$

В случае $qQ\gt 0$ (отталкивание) частица должна иметь минимально допустимую скорость, чтобы достичь центра кольца:

$$\upsilon_{0_{min}}=\sqrt{\frac{Qq(m+M)}{2\pi\varepsilon_{0}RMm}}$$