Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/2.4.25.md
+35 −3
| @@ -1,11 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.4.25.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $2.4.25.$ Внутренняя энергия системы — это потенциальная энергия взаимодействия ее частиц между собой плюс кинетическая энергия движения этих частиц относительно центра масс системы (внутреннего движения). В каком случае полная энергия системы сводится к внутренней? Докажите, что приращение внутренней энергии системы равно работе внешних сил, приложенных к частицам этой системы при их перемещении относительно центра масс. | ||
| ### Решение | |||
| − | sdf | ||
| + | Перейдём в систему отсчёта связанную с центром масс системы, тогда полная механическая энергия системы $E$: | ||
| + | $$E=\frac{1}{2}MV_{ЦМ}^{2}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_{i}u_{i}^{2}+U_{пот}$$ | ||
| + | |||
| + | где $V_{ЦМ}$ - скорость центра масс, $M=\sum_{i=1}^{N}m_{i}$ - масса всей системы, $u_{i}=\upsilon_{i}-V_{ЦМ}$ - скорость $i$-й частицы относительно центра масс, $U_{пот}$ - потенциальная энергия взаимодействия частиц между собой. | ||
| + | |||
| + | По определению внутренней энергии системы: | ||
| + | |||
| + | $$U_{внутр}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_{i}u_{i}^{2}+U_{пот}$$ | ||
| + | |||
| + | Следовательно, | ||
| + | |||
| + | $$E=\frac{1}{2}MV_{ЦМ}^{2}+U_{внутр}$$ | ||
| + | |||
| + | Если $V_{ЦМ}=0$, тогда полная механическая энергия системы сводится к внутренней. | ||
| + | |||
| + | Теперь ответим на второй вопрос. | ||
| + | |||
| + | Обозначим внешние и внутренние силы на $i$-ю частицу как $\vec F_{i}^{внеш}$ и $\vec F_{i}^{внут}$. Пусть $\vec r_{i}$ - радиус-вектор частицы, $\vec R$ - радиус-вектор центра масс, $\vec \xi_{i}=\vec r_{i}-\vec R$ - положение частицы относительно центра масс. Тогда: | ||
| + | |||
| + | $$d\vec r_{i}=d\vec R+d\vec\xi_{i}$$ | ||
| + | |||
| + | По теореме об изменении кинетической энергии: | ||
| + | |||
| + | $$dK_{общ}=\sum_{i=1}^{N}\left( \vec F_{i}^{внеш}+\vec F_{i}^{внут} \right)d\vec r_{i}=\sum_{i=1}^{N}\left( \vec F_{i}^{внеш}+\vec F_{i}^{внут} \right)\left( d\vec R+d\vec\xi_{i} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Раскроем скобки: | ||
| + | |||
| + | $$dK_{общ}=\sum_{i=1}^{N}\vec F_{i}^{внеш}\cdot d\vec R+\sum_{i=1}^{N}F_{i}^{внеш}\cdot d\vec\xi_{i}+\sum_{i=1}^{N}\vec F_{i}^{внут}\cdot d\vec R+\sum_{i=1}^{N}\vec F_{i}^{внут}\cdot d\vec\xi_{i}$$ | ||
| + | |||
| + | Поскольку $\sum_{i=1}^{N}\vec F_{i}^{внеш}=\vec F_{внеш}^{рез}$ - результирующая сила внешних сил, действующих на систему и по третьему закону Ньютона для внутренних сил: $\sum_{i=1}^{N}\vec F_{i}^{внут}=0$, тогда: | ||
| + | |||
| + | $$dK_{общ}=\vec F_{внеш}^{рез}\cdot d\vec R+\sum_{i=1}^{N}F_{i}^{внеш}\cdot d\vec\xi_{i}+\sum_{i=1}^{N}\vec F_{i}^{внут}\cdot d\vec\xi_{i}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| + | При скорости центра масс, равной нулю. | ||
| @@ -1,11 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.4.25.$ [Вставьте условие задачи] | $2.4.25.$ Внутренняя энергия системы — это потенциальная энергия взаимодействия ее частиц между собой плюс кинетическая энергия движения этих частиц относительно центра масс системы (внутреннего движения). В каком случае полная энергия системы сводится к внутренней? Докажите, что приращение внутренней энергии системы равно работе внешних сил, приложенных к частицам этой системы при их перемещении относительно центра масс. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| sdf | Перейдём в систему отсчёта связанную с центром масс системы, тогда полная механическая энергия системы $E$: | ||
| $$E=\frac{1}{2}MV_{ЦМ}^{2}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_{i}u_{i}^{2}+U_{пот}$$ | |||
| где $V_{ЦМ}$ - скорость центра масс, $M=\sum_{i=1}^{N}m_{i}$ - масса всей системы, $u_{i}=\upsilon_{i}-V_{ЦМ}$ - скорость $i$-й частицы относительно центра масс, $U_{пот}$ - потенциальная энергия взаимодействия частиц между собой. | |||
| По определению внутренней энергии системы: | |||
| $$U_{внутр}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_{i}u_{i}^{2}+U_{пот}$$ | |||
| Следовательно, | |||
| $$E=\frac{1}{2}MV_{ЦМ}^{2}+U_{внутр}$$ | |||
| Если $V_{ЦМ}=0$, тогда полная механическая энергия системы сводится к внутренней. | |||
| Теперь ответим на второй вопрос. | |||
| Обозначим внешние и внутренние силы на $i$-ю частицу как $\vec F_{i}^{внеш}$ и $\vec F_{i}^{внут}$. Пусть $\vec r_{i}$ - радиус-вектор частицы, $\vec R$ - радиус-вектор центра масс, $\vec \xi_{i}=\vec r_{i}-\vec R$ - положение частицы относительно центра масс. Тогда: | |||
| $$d\vec r_{i}=d\vec R+d\vec\xi_{i}$$ | |||
| По теореме об изменении кинетической энергии: | |||
| $$dK_{общ}=\sum_{i=1}^{N}\left( \vec F_{i}^{внеш}+\vec F_{i}^{внут} \right)d\vec r_{i}=\sum_{i=1}^{N}\left( \vec F_{i}^{внеш}+\vec F_{i}^{внут} \right)\left( d\vec R+d\vec\xi_{i} \right)$$ | |||
| Раскроем скобки: | |||
| $$dK_{общ}=\sum_{i=1}^{N}\vec F_{i}^{внеш}\cdot d\vec R+\sum_{i=1}^{N}F_{i}^{внеш}\cdot d\vec\xi_{i}+\sum_{i=1}^{N}\vec F_{i}^{внут}\cdot d\vec R+\sum_{i=1}^{N}\vec F_{i}^{внут}\cdot d\vec\xi_{i}$$ | |||
| Поскольку $\sum_{i=1}^{N}\vec F_{i}^{внеш}=\vec F_{внеш}^{рез}$ - результирующая сила внешних сил, действующих на систему и по третьему закону Ньютона для внутренних сил: $\sum_{i=1}^{N}\vec F_{i}^{внут}=0$, тогда: | |||
| $$dK_{общ}=\vec F_{внеш}^{рез}\cdot d\vec R+\sum_{i=1}^{N}F_{i}^{внеш}\cdot d\vec\xi_{i}+\sum_{i=1}^{N}\vec F_{i}^{внут}\cdot d\vec\xi_{i}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| При скорости центра масс, равной нулю. | |||