Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited Aug 26, 2025, 1:56 PM

View solution History

revision #15362 parent #15361 ← older

ru/6.3.9.md +42 −3

		@@ -1,11 +1,50 @@
			### Условие

		−	$6.3.9.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$6.3.9.$ Используя теорему Гаусса, докажите, что объемная плотность электрического заряда внутри проводника равна нулю и что поверхностная плотность заряда проводника $\sigma$ связана с напряженностью электрического поля $E$ вне проводника вблизи его поверхности соотношением $E=\sigma/\varepsilon_{0}$.

			### Решение

		−	sdf
		+	Теорема Гаусса утверждает:

		+	$$\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{внут}}}{\varepsilon_0}$$
		+
		+	где $Q_{\text{внут}}$ - полный заряд внутри поверхности $S$.
		+
		+	В состоянии электростатического равновесия электрическое поле внутри проводника равно нулю: $\mathbf{E}=0$.
		+	Выберем замкнутую поверхность $S$, полностью лежащую внутри проводника. Тогда поток $\mathbf{E}$ через неё равен нулю:
		+
		+	$$\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = 0 \;\;\Rightarrow\;\; Q_{\text{внут}}=0$$
		+
		+	Так как поверхность произвольна, то в любом объёме проводника $Q=0$. Следовательно, объёмная плотность заряда равна нулю:
		+
		+	$$\rho = 0$$
		+
		+	Теперь рассмотрим малый цилиндрический столб, перпендикулярный поверхности проводника. Его одна грань лежит внутри проводника, а другая снаружи. Площадь основания равна $S$.
		+
		+	Внутри проводника поле равно нулю, поэтому поток через внутреннюю грань отсутствует. Через внешнюю грань поток равен:
		+
		+	$$\Phi = E_n S$$
		+
		+	где $E_n$ - нормальная компонента напряжённости поля снаружи. Боковой поток при высоте столба $h\to 0$ исчезающе мал.
		+
		+	Заряд, заключённый в цилиндре, равен:
		+
		+	$$Q_{\text{внут}} = \sigma S$$
		+
		+	где $\sigma$ - поверхностная плотность заряда.
		+
		+	По теореме Гаусса:
		+
		+	$$E_n S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0} \;\;\Rightarrow\;\; E_n = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$
		+
		+
		+	Таким образом, нормальная компонента напряжённости электрического поля у поверхности проводника выражается через поверхностную плотность заряда:
		+
		+	$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$
		+
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$\rho=0$
		+
		+	$E=\sigma/\varepsilon_{0}$

	@@ -1,11 +1,50 @@
	### Условие		### Условие

	$6.3.9.$ [Вставьте условие задачи]		$6.3.9.$ Используя теорему Гаусса, докажите, что объемная плотность электрического заряда внутри проводника равна нулю и что поверхностная плотность заряда проводника $\sigma$ связана с напряженностью электрического поля $E$ вне проводника вблизи его поверхности соотношением $E=\sigma/\varepsilon_{0}$.

	### Решение		### Решение

	sdf		Теорема Гаусса утверждает:

			$$\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{внут}}}{\varepsilon_0}$$

			где $Q_{\text{внут}}$ - полный заряд внутри поверхности $S$.

			В состоянии электростатического равновесия электрическое поле внутри проводника равно нулю: $\mathbf{E}=0$.
			Выберем замкнутую поверхность $S$, полностью лежащую внутри проводника. Тогда поток $\mathbf{E}$ через неё равен нулю:

			$$\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = 0 \;\;\Rightarrow\;\; Q_{\text{внут}}=0$$

			Так как поверхность произвольна, то в любом объёме проводника $Q=0$. Следовательно, объёмная плотность заряда равна нулю:

			$$\rho = 0$$

			Теперь рассмотрим малый цилиндрический столб, перпендикулярный поверхности проводника. Его одна грань лежит внутри проводника, а другая снаружи. Площадь основания равна $S$.

			Внутри проводника поле равно нулю, поэтому поток через внутреннюю грань отсутствует. Через внешнюю грань поток равен:

			$$\Phi = E_n S$$

			где $E_n$ - нормальная компонента напряжённости поля снаружи. Боковой поток при высоте столба $h\to 0$ исчезающе мал.

			Заряд, заключённый в цилиндре, равен:

			$$Q_{\text{внут}} = \sigma S$$

			где $\sigma$ - поверхностная плотность заряда.

			По теореме Гаусса:

			$$E_n S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0} \;\;\Rightarrow\;\; E_n = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$


			Таким образом, нормальная компонента напряжённости электрического поля у поверхности проводника выражается через поверхностную плотность заряда:

			$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$


	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$\rho=0$

			$E=\sigma/\varepsilon_{0}$