6.3.9. Используя теорему Гаусса, докажите, что объемная плотность электрического заряда внутри проводника равна нулю и что поверхностная плотность заряда проводника $\sigma$ связана с напряженностью электрического поля $E$ вне проводника вблизи его поверхности соотношением $E=\sigma/\varepsilon_{0}$.
где $Q_{\text{внут}}$ - полный заряд внутри поверхности $S$.
В состоянии электростатического равновесия электрическое поле внутри проводника равно нулю: $\mathbf{E}=0$. Выберем замкнутую поверхность $S$, полностью лежащую внутри проводника. Тогда поток $\mathbf{E}$ через неё равен нулю:
Так как поверхность произвольна, то в любом объёме проводника $Q=0$. Следовательно, объёмная плотность заряда равна нулю:
$$\rho = 0$$
Теперь рассмотрим малый цилиндрический столб, перпендикулярный поверхности проводника. Его одна грань лежит внутри проводника, а другая снаружи. Площадь основания равна $S$.
Внутри проводника поле равно нулю, поэтому поток через внутреннюю грань отсутствует. Через внешнюю грань поток равен:
$$\Phi = E_n S$$
где $E_n$ - нормальная компонента напряжённости поля снаружи. Боковой поток при высоте столба $h\to 0$ исчезающе мал.
Заряд, заключённый в цилиндре, равен:
$$Q_{\text{внут}} = \sigma S$$
где $\sigma$ - поверхностная плотность заряда.
По теореме Гаусса:
$$E_n S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0} \;\;\Rightarrow\;\; E_n = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$
Таким образом, нормальная компонента напряжённости электрического поля у поверхности проводника выражается через поверхностную плотность заряда: