Решение

В системе отсчёта относительно "Земли" (лабораторная система отсчёта) $\pi^{0}$-мезон пролетает расстояние $l$ за время $t=\frac{l}{\upsilon}$.

Если начало координат и часы поместить в точку рождения мезона, тогда его пространственно-временные координаты рождения и распада будут:

$$(x_{1}, t_{1})=(0,0) \text{ - событие рождения}$$
$$(x_{2}, t_{2})=(l,\frac{l}{\upsilon}) \text{ - событие распада}$$

Теперь сделаем преобразование Лоренца в систему протона, движущуюся со скоростью $u$ в ту же сторону. Формула преобразования:

$$t^{'}=\gamma_{u}\left( t-\frac{ux}{c^{2}} \right)$$

где $\gamma_{u}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}$ - фактор Лоренца.

Для рождения:

$$t_{1}^{'}=\gamma_{u}\left( 0-\frac{u\cdot0}{c^{2}} \right)=0$$

Для распада:

$$t_{2}^{'}=\gamma_{u}\left( \frac{l}{\upsilon}-\frac{ul}{c^{2}} \right)=\frac{\gamma_{u}l}{\upsilon}\left( 1-\frac{u\upsilon}{c^{2}} \right)$$

Следовательно, время между событиями в системе протона:

$$\tau=t_{2}^{'}-t_{1}^{'}=\frac{\gamma_{u}l}{\upsilon}\left( 1-\frac{u\upsilon}{c^{2}} \right)$$

Подставим фактор Лоренца:

$$\tau=\frac{l(1-\upsilon u/c^{2})}{\upsilon\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}}$$