Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/7.3.8.md
+52 −4
| @@ -1,11 +1,59 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $7.3.8.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $7.3.8.$ Тонкий пучок электронов, ускоренный напряжением $V$, проходит последовательно электрическое поле двух небольших конденсаторов, отстоящих друг от друга на расстояние $l$. Конденсаторы соединены параллельно и присоединены к источнику переменного напряжения. При частоте $f$ пучок после выхода из конденсаторов движется в первоначальном направлении. Определите возможные значения отношения заряда электрона к его массе. | ||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | sdf | ||
| + | Согласно закону сохранения энергии, горизонтальная скорость электрона перед входом в конденсатор: | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | $$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=eV\Longrightarrow \upsilon=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}} \tag{1}$$ | ||
| − | |||
| + | Данная скорость не изменяется на всём пути следования электрона, поскольку в горизонтальном направлении на электрон не действуют никакие силы. Время пролёта между двумя конденсаторами: | ||
| + | |||
| + | $$t_{0}=\frac{l}{\upsilon}$$ | ||
| + | |||
| + | В условии задачи сказано, что конденсаторы небольшие. Это значит, что время пролёта через каждый мало по сравнению с периодом изменения напряжения на конденсаторах. Поэтому можно считать, что мгновенное значение напряжения действует на протяжении всего полёта электрона через конденсатор. | ||
| + | |||
| + | Пусть напряжение меняется по закону: $U(t)=U_{0}\sin\omega t=U_{0}\sin(2\pi ft)$. Обозначим расстояние между пластинами $a$, их длина $d$. Под действием электрической силы в конденсаторе возникает изменение поперечного (вертикального) импульса электрона: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\Delta p_{y}}{\Delta t}=eE=\frac{eU(t)}{a}\Longrightarrow \Delta p_{y}=\frac{eU(t)}{a}\Delta t=\frac{eU(t)}{a}\cdot\frac{d}{\upsilon}$$ | ||
| + | |||
| + | Через второй конденсатор электрон проходит спустя время $t_{0}$, поэтому суммарное поперечное приращение импульса: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta p_{y}=\frac{ed}{a\upsilon}\cdot\left( U(t)+U(t+t_{0}) \right)$$ | ||
| + | |||
| + | По условию задачи пучок после выхода из конденсаторов движется в первоначальном направлении, значит $\Delta p_{y}=0$, тогда: | ||
| + | |||
| + | $$U(t)+U(t+t_{0})=0$$ | ||
| + | |||
| + | Или: | ||
| + | |||
| + | $$\sin(2\pi ft)+\sin(2\pi ft+2\pi ft_{0})=0$$ | ||
| + | $$2\cdot\sin(2\pi ft+\pi ft_{0})\cdot\cos(\pi ft_{0})=0$$ | ||
| + | |||
| + | Это уравнение должно быть справедливо для любых $t$, следовательно: | ||
| + | |||
| + | $$\cos(\pi ft_{0})=0$$ | ||
| + | $$\pi ft_{0}=\frac{\pi}{2}+n\pi\Longrightarrow ft_{0}=\frac{1}{2}+n$$ | ||
| + | |||
| + | где $n$ - целое число. | ||
| + | |||
| + | Подставим $t_{0}$: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{fl}{\upsilon}=\frac{1}{2}+n$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим (1): | ||
| + | |||
| + | $$fl\sqrt{\frac{m_{e}}{2eV}}=\frac{1}{2}+n$$ | ||
| + | |||
| + | После преобразований получим: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{e}{m_{e}}=\frac{l^{2}f^{2}}{2V(n+1/2)^{2}}$$ | ||
| + | где $n$ - целое число. | ||
| + | |||
| + | ### Ответ | ||
| + | |||
| + | $$\frac{e}{m_{e}}=\frac{l^{2}f^{2}}{2V(n+1/2)^{2}}$$ | ||
| + | где $n$ - целое число. | ||
| @@ -1,11 +1,59 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.3.8.$ [Вставьте условие задачи] | $7.3.8.$ Тонкий пучок электронов, ускоренный напряжением $V$, проходит последовательно электрическое поле двух небольших конденсаторов, отстоящих друг от друга на расстояние $l$. Конденсаторы соединены параллельно и присоединены к источнику переменного напряжения. При частоте $f$ пучок после выхода из конденсаторов движется в первоначальном направлении. Определите возможные значения отношения заряда электрона к его массе. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| sdf | Согласно закону сохранения энергии, горизонтальная скорость электрона перед входом в конденсатор: | ||
| #### Ответ | $$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=eV\Longrightarrow \upsilon=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}} \tag{1}$$ | ||
| Данная скорость не изменяется на всём пути следования электрона, поскольку в горизонтальном направлении на электрон не действуют никакие силы. Время пролёта между двумя конденсаторами: | |||
| $$t_{0}=\frac{l}{\upsilon}$$ | |||
| В условии задачи сказано, что конденсаторы небольшие. Это значит, что время пролёта через каждый мало по сравнению с периодом изменения напряжения на конденсаторах. Поэтому можно считать, что мгновенное значение напряжения действует на протяжении всего полёта электрона через конденсатор. | |||
| Пусть напряжение меняется по закону: $U(t)=U_{0}\sin\omega t=U_{0}\sin(2\pi ft)$. Обозначим расстояние между пластинами $a$, их длина $d$. Под действием электрической силы в конденсаторе возникает изменение поперечного (вертикального) импульса электрона: | |||
| $$\frac{\Delta p_{y}}{\Delta t}=eE=\frac{eU(t)}{a}\Longrightarrow \Delta p_{y}=\frac{eU(t)}{a}\Delta t=\frac{eU(t)}{a}\cdot\frac{d}{\upsilon}$$ | |||
| Через второй конденсатор электрон проходит спустя время $t_{0}$, поэтому суммарное поперечное приращение импульса: | |||
| $$\Delta p_{y}=\frac{ed}{a\upsilon}\cdot\left( U(t)+U(t+t_{0}) \right)$$ | |||
| По условию задачи пучок после выхода из конденсаторов движется в первоначальном направлении, значит $\Delta p_{y}=0$, тогда: | |||
| $$U(t)+U(t+t_{0})=0$$ | |||
| Или: | |||
| $$\sin(2\pi ft)+\sin(2\pi ft+2\pi ft_{0})=0$$ | |||
| $$2\cdot\sin(2\pi ft+\pi ft_{0})\cdot\cos(\pi ft_{0})=0$$ | |||
| Это уравнение должно быть справедливо для любых $t$, следовательно: | |||
| $$\cos(\pi ft_{0})=0$$ | |||
| $$\pi ft_{0}=\frac{\pi}{2}+n\pi\Longrightarrow ft_{0}=\frac{1}{2}+n$$ | |||
| где $n$ - целое число. | |||
| Подставим $t_{0}$: | |||
| $$\frac{fl}{\upsilon}=\frac{1}{2}+n$$ | |||
| Подставим (1): | |||
| $$fl\sqrt{\frac{m_{e}}{2eV}}=\frac{1}{2}+n$$ | |||
| После преобразований получим: | |||
| $$\frac{e}{m_{e}}=\frac{l^{2}f^{2}}{2V(n+1/2)^{2}}$$ | |||
| где $n$ - целое число. | |||
| ### Ответ | |||
| $$\frac{e}{m_{e}}=\frac{l^{2}f^{2}}{2V(n+1/2)^{2}}$$ | |||
| где $n$ - целое число. | |||