Решение

Согласно закону сохранения энергии, горизонтальная скорость электрона перед входом в конденсатор:

$$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=eV\Longrightarrow \upsilon=\sqrt{\frac{2eV}{m_{e}}} \tag{1}$$

Данная скорость не изменяется на всём пути следования электрона, поскольку в горизонтальном направлении на электрон не действуют никакие силы. Время пролёта между двумя конденсаторами:

$$t_{0}=\frac{l}{\upsilon}$$

В условии задачи сказано, что конденсаторы небольшие. Это значит, что время пролёта через каждый мало по сравнению с периодом изменения напряжения на конденсаторах. Поэтому можно считать, что мгновенное значение напряжения действует на протяжении всего полёта электрона через конденсатор.

Пусть напряжение меняется по закону: $U(t)=U_{0}\sin\omega t=U_{0}\sin(2\pi ft)$. Обозначим расстояние между пластинами $a$, их длина $d$. Под действием электрической силы в конденсаторе возникает изменение поперечного (вертикального) импульса электрона:

$$\frac{\Delta p_{y}}{\Delta t}=eE=\frac{eU(t)}{a}\Longrightarrow \Delta p_{y}=\frac{eU(t)}{a}\Delta t=\frac{eU(t)}{a}\cdot\frac{d}{\upsilon}$$

Через второй конденсатор электрон проходит спустя время $t_{0}$, поэтому суммарное поперечное приращение импульса:

$$\Delta p_{y}=\frac{ed}{a\upsilon}\cdot\left( U(t)+U(t+t_{0}) \right)$$

По условию задачи пучок после выхода из конденсаторов движется в первоначальном направлении, значит $\Delta p_{y}=0$, тогда:

$$U(t)+U(t+t_{0})=0$$

Или:

$$\sin(2\pi ft)+\sin(2\pi ft+2\pi ft_{0})=0$$
$$2\cdot\sin(2\pi ft+\pi ft_{0})\cdot\cos(\pi ft_{0})=0$$

Это уравнение должно быть справедливо для любых $t$, следовательно:

$$\cos(\pi ft_{0})=0$$
$$\pi ft_{0}=\frac{\pi}{2}+n\pi\Longrightarrow ft_{0}=\frac{1}{2}+n$$

где $n$ - целое число.

Подставим $t_{0}$:

$$\frac{fl}{\upsilon}=\frac{1}{2}+n$$

Подставим (1):

$$fl\sqrt{\frac{m_{e}}{2eV}}=\frac{1}{2}+n$$

После преобразований получим:

$$\frac{e}{m_{e}}=\frac{l^{2}f^{2}}{2V(n+1/2)^{2}}$$
где $n$ - целое число.