Решение

Если электрон движется по винтовой линии в магнитном поле, значит его скорость имеет две компоненты: $\upsilon_{\bot}$ - перпендикулярная полю, которая под действием силы Лоренца, обуславливает вращательное движение по окружности радиуса $R$ и $\upsilon_{\parallel}$ - параллельная полю, которая даёт продвижение по оси с шагом $h$.

Запишем второй закон Ньютона для релятивистского электрона в магнитнои поле:

$$\frac{\gamma m_{e}\upsilon_{\bot}^{2}}{R}=e\upsilon_{\bot}B \tag{1}$$

где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$ - фактор Лоренца, $e$ - заряд электрона, $m_{e}$ - масса покоя электрона.

Обозначим перпендикулярную компоненту релятивистского импульса $p_{\bot}=\gamma m_{e}\upsilon_{\bot }$, тогда (1) можно переписать:

$$p_{\bot}=eBR \tag{2}$$

Поскольку $\upsilon_{\bot}=\omega R$, то из (2) можно выразить релятивистскую циклическую частоту:

$$\omega=\frac{eB}{\gamma m_{e}}$$

Период вращения:

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\gamma m_{e}}{eB}$$

Вдоль поля электрон движется равномерно, так как в этом направлении на него не действуют никакие силы, отсюда:

$$\upsilon_{\parallel}=\frac{h}{T}=\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}$$

Тогда параллельный импульс:

$$p_{\parallel}=\gamma m_{e}\upsilon_{\parallel}=\gamma m_{e}\cdot\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}=\frac{heB}{2\pi}$$

Модуль полного импульса:

$$p=\sqrt{p_{\bot}^{2}+p_{\parallel}^{2}}=eB\sqrt{R^{2}+\left( \frac{h}{2\pi} \right)^{2}}=eBR\sqrt{1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2}} \tag{3}$$

Релятивистская полная энергия частицы:

$$E=\sqrt{(pc)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}} \tag{4}$$

Релятивистская кинетическая энергия частицы:

$$\mathcal{E}=E-m_{e}c^{2} \tag{5}$$

Подставим (3) и (4) в (5), получим:

$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBRc)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$