Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #15394 parent #15393 ← older newer →
ru/14.4.27.md +46 −3
@@ -1,11 +1,54 @@
### Условие
−$14.4.27.$ [Вставьте условие задачи]
+$14.4.27.$ Определите кинетическую энергию электрона, который движется в магнитном поле индукции $B$ по винтовой линии радиуса $R$ с шагом $h$.
+
### Решение
−sdf
+Если электрон движется по винтовой линии в магнитном поле, значит его скорость имеет две компоненты: $\upsilon_{\bot}$ - перпендикулярная полю, которая под действием силы Лоренца, обуславливает вращательное движение по окружности радиуса $R$ и $\upsilon_{\parallel}$ - параллельная полю, которая даёт продвижение по оси с шагом $h$.
+Запишем второй закон Ньютона для релятивистского электрона в магнитнои поле:
+
+$$\frac{\gamma m_{e}\upsilon_{\bot}^{2}}{R}=e\upsilon_{\bot}B \tag{1}$$
+
+где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$ - фактор Лоренца, $e$ - заряд электрона, $m_{e}$ - масса покоя электрона.
+
+Обозначим перпендикулярную компоненту релятивистского импульса $p_{\bot}=\gamma m_{e}\upsilon_{\bot }$, тогда (1) можно переписать:
+
+$$p_{\bot}=eBR \tag{2}$$
+
+Поскольку $\upsilon_{\bot}=\omega R$, то из (2) можно выразить релятивистскую циклическую частоту:
+
+$$\omega=\frac{eB}{\gamma m_{e}}$$
+
+Период вращения:
+
+$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\gamma m_{e}}{eB}$$
+
+Вдоль поля электрон движется равномерно, так как в этом направлении на него не действуют никакие силы, отсюда:
+
+$$\upsilon_{\parallel}=\frac{h}{T}=\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}$$
+
+Тогда параллельный импульс:
+
+$$p_{\parallel}=\gamma m_{e}\upsilon_{\parallel}=\gamma m_{e}\cdot\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}=\frac{heB}{2\pi}$$
+
+Модуль полного импульса:
+
+$$p=\sqrt{p_{\bot}^{2}+p_{\parallel}^{2}}=eB\sqrt{R^{2}+\left( \frac{h}{2\pi} \right)^{2}}=eBR\sqrt{1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2}} \tag{3}$$
+
+Релятивистская полная энергия частицы:
+
+$$E=\sqrt{(pc)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}} \tag{4}$$
+
+Релятивистская кинетическая энергия частицы:
+
+$$\mathcal{E}=E-m_{e}c^{2} \tag{5}$$
+
+Подставим (3) и (4) в (5), получим:
+
+$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBRc)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBRc)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$