Edits to “Решение”, “Ответ”

emixter edited Aug 31, 2025, 12:22 PM

View solution History

revision #15396 parent #15395 ← older

ru/14.4.27.md +9 −2

			### Условие

			$14.4.27.$ Определите кинетическую энергию электрона, который движется в магнитном поле индукции $B$ по винтовой линии радиуса $R$ с шагом $h$.


			### Решение

			Если электрон движется по винтовой линии в магнитном поле, значит его скорость имеет две компоненты: $\upsilon_{\bot}$ - перпендикулярная полю, которая под действием силы Лоренца, обуславливает вращательное движение по окружности радиуса $R$ и $\upsilon_{\parallel}$ - параллельная полю, которая даёт продвижение по оси с шагом $h$.

			Запишем второй закон Ньютона для релятивистского электрона в магнитнои поле:

			$$\frac{\gamma m_{e}\upsilon_{\bot}^{2}}{R}=e\upsilon_{\bot}B \tag{1}$$

			где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$ - фактор Лоренца, $e$ - заряд электрона, $m_{e}$ - масса покоя электрона.

			Обозначим перпендикулярную компоненту релятивистского импульса $p_{\bot}=\gamma m_{e}\upsilon_{\bot }$, тогда (1) можно переписать:

			$$p_{\bot}=eBR \tag{2}$$

			Поскольку $\upsilon_{\bot}=\omega R$, то из (2) можно выразить релятивистскую циклическую частоту:

			$$\omega=\frac{eB}{\gamma m_{e}}$$

			Период вращения:

			$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\gamma m_{e}}{eB}$$

			Вдоль поля электрон движется равномерно, так как в этом направлении на него не действуют никакие силы, отсюда:

			$$\upsilon_{\parallel}=\frac{h}{T}=\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}$$

			Тогда параллельный импульс:

			$$p_{\parallel}=\gamma m_{e}\upsilon_{\parallel}=\gamma m_{e}\cdot\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}=\frac{heB}{2\pi}$$

			Модуль полного импульса:

			$$p=\sqrt{p_{\bot}^{2}+p_{\parallel}^{2}}=eB\sqrt{R^{2}+\left( \frac{h}{2\pi} \right)^{2}}=eBR\sqrt{1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2}} \tag{3}$$

			Релятивистская полная энергия частицы:

			$$E=\sqrt{(pc)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}} \tag{4}$$

			Релятивистская кинетическая энергия частицы:

			$$\mathcal{E}=E-m_{e}c^{2} \tag{5}$$

			Подставим (3) и (4) в (5), получим:
		@@ -49,8 +49,15 @@Решение

			$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBRc)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$

		−	P.S. В ответе задачника опечатка.
		+	P.S. У меня ответ приведён в системе СИ, а в ответе задачника в системе СГС. Сила Лоренца в СГС $F_{Л}=\frac{q}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right]$. Поэтому в СГС ответ будет:

		+	$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBR)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$
		+
			#### Ответ

		−	$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBRc)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$
		+	В системе СИ:
		+	$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBRc)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R}
		+	\right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$
		+
		+	в системе СГС:
		+	$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBR)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$

	### Условие		### Условие

	$14.4.27.$ Определите кинетическую энергию электрона, который движется в магнитном поле индукции $B$ по винтовой линии радиуса $R$ с шагом $h$.		$14.4.27.$ Определите кинетическую энергию электрона, который движется в магнитном поле индукции $B$ по винтовой линии радиуса $R$ с шагом $h$.


	### Решение		### Решение

	Если электрон движется по винтовой линии в магнитном поле, значит его скорость имеет две компоненты: $\upsilon_{\bot}$ - перпендикулярная полю, которая под действием силы Лоренца, обуславливает вращательное движение по окружности радиуса $R$ и $\upsilon_{\parallel}$ - параллельная полю, которая даёт продвижение по оси с шагом $h$.		Если электрон движется по винтовой линии в магнитном поле, значит его скорость имеет две компоненты: $\upsilon_{\bot}$ - перпендикулярная полю, которая под действием силы Лоренца, обуславливает вращательное движение по окружности радиуса $R$ и $\upsilon_{\parallel}$ - параллельная полю, которая даёт продвижение по оси с шагом $h$.

	Запишем второй закон Ньютона для релятивистского электрона в магнитнои поле:		Запишем второй закон Ньютона для релятивистского электрона в магнитнои поле:

	$$\frac{\gamma m_{e}\upsilon_{\bot}^{2}}{R}=e\upsilon_{\bot}B \tag{1}$$		$$\frac{\gamma m_{e}\upsilon_{\bot}^{2}}{R}=e\upsilon_{\bot}B \tag{1}$$

	где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$ - фактор Лоренца, $e$ - заряд электрона, $m_{e}$ - масса покоя электрона.		где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$ - фактор Лоренца, $e$ - заряд электрона, $m_{e}$ - масса покоя электрона.

	Обозначим перпендикулярную компоненту релятивистского импульса $p_{\bot}=\gamma m_{e}\upsilon_{\bot }$, тогда (1) можно переписать:		Обозначим перпендикулярную компоненту релятивистского импульса $p_{\bot}=\gamma m_{e}\upsilon_{\bot }$, тогда (1) можно переписать:

	$$p_{\bot}=eBR \tag{2}$$		$$p_{\bot}=eBR \tag{2}$$

	Поскольку $\upsilon_{\bot}=\omega R$, то из (2) можно выразить релятивистскую циклическую частоту:		Поскольку $\upsilon_{\bot}=\omega R$, то из (2) можно выразить релятивистскую циклическую частоту:

	$$\omega=\frac{eB}{\gamma m_{e}}$$		$$\omega=\frac{eB}{\gamma m_{e}}$$

	Период вращения:		Период вращения:

	$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\gamma m_{e}}{eB}$$		$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\gamma m_{e}}{eB}$$

	Вдоль поля электрон движется равномерно, так как в этом направлении на него не действуют никакие силы, отсюда:		Вдоль поля электрон движется равномерно, так как в этом направлении на него не действуют никакие силы, отсюда:

	$$\upsilon_{\parallel}=\frac{h}{T}=\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}$$		$$\upsilon_{\parallel}=\frac{h}{T}=\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}$$

	Тогда параллельный импульс:		Тогда параллельный импульс:

	$$p_{\parallel}=\gamma m_{e}\upsilon_{\parallel}=\gamma m_{e}\cdot\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}=\frac{heB}{2\pi}$$		$$p_{\parallel}=\gamma m_{e}\upsilon_{\parallel}=\gamma m_{e}\cdot\frac{heB}{2\pi\gamma m_{e}}=\frac{heB}{2\pi}$$

	Модуль полного импульса:		Модуль полного импульса:

	$$p=\sqrt{p_{\bot}^{2}+p_{\parallel}^{2}}=eB\sqrt{R^{2}+\left( \frac{h}{2\pi} \right)^{2}}=eBR\sqrt{1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2}} \tag{3}$$		$$p=\sqrt{p_{\bot}^{2}+p_{\parallel}^{2}}=eB\sqrt{R^{2}+\left( \frac{h}{2\pi} \right)^{2}}=eBR\sqrt{1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2}} \tag{3}$$

	Релятивистская полная энергия частицы:		Релятивистская полная энергия частицы:

	$$E=\sqrt{(pc)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}} \tag{4}$$		$$E=\sqrt{(pc)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}} \tag{4}$$

	Релятивистская кинетическая энергия частицы:		Релятивистская кинетическая энергия частицы:

	$$\mathcal{E}=E-m_{e}c^{2} \tag{5}$$		$$\mathcal{E}=E-m_{e}c^{2} \tag{5}$$

	Подставим (3) и (4) в (5), получим:		Подставим (3) и (4) в (5), получим:
	@@ -49,8 +49,15 @@Решение

	$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBRc)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$		$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBRc)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$

	P.S. В ответе задачника опечатка.		P.S. У меня ответ приведён в системе СИ, а в ответе задачника в системе СГС. Сила Лоренца в СГС $F_{Л}=\frac{q}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right]$. Поэтому в СГС ответ будет:

			$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBR)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$

	#### Ответ		#### Ответ

	$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBRc)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$		В системе СИ:
			$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBRc)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R}
			\right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$

			в системе СГС:
			$$\mathcal{E}=\sqrt{(m_{e}c^{2})^{2}+(eBR)^{2}\left[ 1+\left( \frac{h}{2\pi R} \right)^{2} \right]}-m_{e}c^{2}$$