Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #15416 parent #15415 ← older
ru/2.5.8.md +51 −3
@@ -1,11 +1,59 @@
### Условие
−$2.5.8.$ [Вставьте условие задачи]
+$2.5.8.$ Шарики массы $m_{1}$ и $m_{2}$ движутся в неподвижной кольцевой трубке с начальными скоростями $\upsilon_{1}$ и $\upsilon_{2}$. Каковы будут их скорости после 1987, 1988 столкновений? Удары упругие, трубка гладкая.
### Решение
−sdf
+Запишем закон сохранения импульса и энергии для упругого удара:
+$$m_{1}\upsilon_{1}+m_{2}\upsilon_{2}=m_{1}\upsilon_{1}^{'}+m_{2}\upsilon_{2}^{'} \tag{1}$$
+$$\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{'2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{'2} \tag{2}$$
+
+У нас система с 2 уравнениями и 2 неизвестными, причём система уравнений у нас симметрична. Поэтому одно из решений этой системы можна записать сразу: $\upsilon_{1}^{'}=\upsilon_{1}$, $\upsilon_{2}^{'}=\upsilon_{2}$. Но это решение не имеет физического смысла.
+
+Из (1) выразим $\upsilon_{1}^{'}$:
+
+$$\upsilon_{1}^{'}=\frac{1}{m_{1}}(m_{1}\upsilon_{1}+m_{2}\upsilon_{2}-m_{2}\upsilon_{2}^{'}) \tag{3}$$
+
+Подставим в (2) и после алгебраических преобразований получим квадратное уравнение относительно $\upsilon_{2}^{'}$:
+
+$$(m_{1}+m_{2})\upsilon_{2}^{'2}-2(m_{1}\upsilon_{1}+m_{2}\upsilon_{2})\upsilon_{2}^{'}+\upsilon_{2}(m_{2}\upsilon_{2}+2m_{1}\upsilon_{1}-m_{1}\upsilon_{2})=0$$
+
+Физически обоснованый корень этого уравнения:
+
+$$\upsilon_{2}^{'}=\frac{(m_{2}-m_{1})\upsilon_{2}+2m_{1}\upsilon_{1}}{m_{1}+m_{2}} \tag{4}$$
+
+Подставим его в (3) и найдём $\upsilon_{1}^{'}$:
+
+$$\upsilon_{1}^{'}=\frac{(m_{1}-m_{2})\upsilon_{1}+2m_{2}\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}} \tag{5}$$
+
+Мы нашли скорости тел после первого соударения. Чтобы найти скорости тел после второго столкновения, необходимо в (4) и (5) произвести следующие замены: $\upsilon_{1}^{'}\to \upsilon_{1}^{''}$, $\upsilon_{2}^{'}\to \upsilon_{2}^{''}$, $\upsilon_{1}\to \upsilon_{1}^{'}$, $\upsilon_{2}\to \upsilon_{2}^{'}$.
+
+После алгебраических преобразований, получим:
+
+$$\upsilon_{1}^{''}=\upsilon_{1}$$
+$$\upsilon_{2}^{''}=\upsilon_{2}$$
+
+То есть тела после второго соударения движуться с исходными скоростями.
+
+Обобщая получим, что после любого нечётного числа столкновений скорости такие же, как после одного столкновения; после любого чётного числа столкновений скорости возвращаются к исходным.
+
+Значит, после 1987 столкновения:
+
+$$\upsilon_{1}^{(1987)}=\frac{(m_{1}-m_{2})\upsilon_{1}+2m_{2}\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$
+$$\upsilon_{2}^{(1987)}=\frac{(m_{2}-m_{1})\upsilon_{2}+2m_{1}\upsilon_{1}}{m_{1}+m_{2}}$$
+
+После 1988 столкновения:
+
+$$\upsilon_{1}^{(1988)}=\upsilon_{1}$$
+$$\upsilon_{2}^{(1988)}=\upsilon_{2}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+После любого нечетного числа столкновений скорости:
+
+$$\upsilon_{1}^{'}=\frac{(m_{1}-m_{2})\upsilon_{1}+2m_{2}\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$
+
+$$\upsilon_{2}^{'}=\frac{(m_{2}-m_{1})\upsilon_{2}+2m_{1}\upsilon_{1}}{m_{1}+m_{2}}$$
+
+После любого четного — равны начальным.