Решение

Запишем закон сохранения импульса и энергии для упругого удара:

$$m_{1}\upsilon_{1}+m_{2}\upsilon_{2}=m_{1}\upsilon_{1}^{'}+m_{2}\upsilon_{2}^{'} \tag{1}$$
$$\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{'2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{'2} \tag{2}$$

У нас система с 2 уравнениями и 2 неизвестными, причём система уравнений у нас симметрична. Поэтому одно из решений этой системы можна записать сразу: $\upsilon_{1}^{'}=\upsilon_{1}$, $\upsilon_{2}^{'}=\upsilon_{2}$. Но это решение не имеет физического смысла.

Из (1) выразим $\upsilon_{1}^{'}$:

$$\upsilon_{1}^{'}=\frac{1}{m_{1}}(m_{1}\upsilon_{1}+m_{2}\upsilon_{2}-m_{2}\upsilon_{2}^{'}) \tag{3}$$

Подставим в (2) и после алгебраических преобразований получим квадратное уравнение относительно $\upsilon_{2}^{'}$:

$$(m_{1}+m_{2})\upsilon_{2}^{'2}-2(m_{1}\upsilon_{1}+m_{2}\upsilon_{2})\upsilon_{2}^{'}+\upsilon_{2}(m_{2}\upsilon_{2}+2m_{1}\upsilon_{1}-m_{1}\upsilon_{2})=0$$

Физически обоснованый корень этого уравнения:

$$\upsilon_{2}^{'}=\frac{(m_{2}-m_{1})\upsilon_{2}+2m_{1}\upsilon_{1}}{m_{1}+m_{2}} \tag{4}$$

Подставим его в (3) и найдём $\upsilon_{1}^{'}$:

$$\upsilon_{1}^{'}=\frac{(m_{1}-m_{2})\upsilon_{1}+2m_{2}\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}} \tag{5}$$

Мы нашли скорости тел после первого соударения. Чтобы найти скорости тел после второго столкновения, необходимо в (4) и (5) произвести следующие замены: $\upsilon_{1}^{'}\to \upsilon_{1}^{''}$, $\upsilon_{2}^{'}\to \upsilon_{2}^{''}$, $\upsilon_{1}\to \upsilon_{1}^{'}$, $\upsilon_{2}\to \upsilon_{2}^{'}$.

После алгебраических преобразований, получим:

$$\upsilon_{1}^{''}=\upsilon_{1}$$
$$\upsilon_{2}^{''}=\upsilon_{2}$$

То есть тела после второго соударения движуться с исходными скоростями.

Обобщая получим, что после любого нечётного числа столкновений скорости такие же, как после одного столкновения; после любого чётного числа столкновений скорости возвращаются к исходным.

Значит, после 1987 столкновения:

$$\upsilon_{1}^{(1987)}=\frac{(m_{1}-m_{2})\upsilon_{1}+2m_{2}\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$
$$\upsilon_{2}^{(1987)}=\frac{(m_{2}-m_{1})\upsilon_{2}+2m_{1}\upsilon_{1}}{m_{1}+m_{2}}$$

После 1988 столкновения:

$$\upsilon_{1}^{(1988)}=\upsilon_{1}$$
$$\upsilon_{2}^{(1988)}=\upsilon_{2}$$